ספר המספר/שער א
| אברהם אבן עזרא | |
| ספר המספר | |
|---|---|
| שער א | |
| →הקדמה | שער ב← |
== השער הא' ==
כבר הזכרתי לך איך הם מעלות המספר והנה כשיבואו לך שנים מספרים לכפול כלל על כלל בין שיהיה על עצמו כמו כ׳ על כ׳ או על אחר כמו כ׳ על ל׳ בקש דמיונו במעלה הראשונה וראה כמה המחובר מכפל זה על זה ושמור אותו ואחר כך ראה כמה מעלות שני החשבונות בין שיהיו במעלה אחת או בשתים מעלות ודע כמה המחובר ממספר שתי המעלות וגרע לעולם אחד למוסד ובקש במספר המעלה הנשאר במספר השמור .ועוד אדבר על טעם המוסד בדברי על סוד האחד בע"ה .דמיון רצינו לכפול שלשים על מאתים .והנה דמיון שלשים שלשה ודמיון מאתים שנים כפלנו ב׳ על ג׳ והנה עלו ששה וזהו החשבון השמור ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה השנית שהם עשרות והנה נקה לו שנים ובעבור כי המאתים מהמעלה השלישית שהם מאות נקה לו שלשה ונחבר עליו השנים ויהיו חמשה נחסר אחד למוסד ישארו ארבעה וכבר ידענו כי המעלה הרביעית היא לאלף והמספר השמור היה ששה והנה העולה ששת אלפים. דמיון אחר בקשנו לכפול מאתים על שבע מאות והנה כפלנו שנים על שבעה והנה עלו י"ד והוא השמור והנה מאתים מהמעלה השלישית וז' מאות ג"כ מהמעלה השלישית נקח להם ששה ונחסר אחד למוסד הנה חמשה וראש המעלה החמשית עשרת אלפים והשמור היה י"ד הנה נקח במספר הזה עשרת אלפים ויהיה העולה מאת אלף ומ' אלף ועל זה הסדר תוכל לעשות עד אין קץ.
ואם היו שנים מספרים מרחקם מחשבון כלל כמרחק שנים מספרים אחרים רק האחד במגרעת והשני בתוספת דע כמה מרובע מספר הכלל וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר והנשאר הוא המבוקש. דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א והנה חשבון הכלל הוא שלשים ומרובעו ט' מאות כי שלשה על שלשה תשעה והחסרון והיתרון הוא אחד ומרובעו אחד נחסרנו ממרובע הכלל והנשאר הוא המבוקש והוא תתצ"ט. דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד והנה חשבון הכלל ס' והחסרון והיתרון ששה והנה מרובע הכלל ג' אלפים ת"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון והנה הנשאר הוא המבוקש והוא ג' אלפים תקס"ד. דמיון אחר המספר האחד ר"נ והמספר האחר ש"נ הנה הכלל הוא ש' ומרובעו צ' אלף נחסר ממנו מרובע נ' שהוא מרובע החסרון והיתרון ומספרו אלפים ת"ק והנשאר הוא המבוקש .ועל זה הסדר נוכל לעשות שאר המספרים הדומים לאלה שהחסרון והיתרון שוים.
דרך אחרת נכבדת שהוצאתי בדרך השלישיות שנקח שלישית החשבון ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא המבוקש .דמיון בקשנו לדעת כמה מספר מרובע ג' נקה שלישיתו שהוא אחד ומרובעו אחד והוא עשרה שהוא הכלל הקרוב אליו נחסר ממנו אחד שהוא מרובע השלישית וישאר ט' והוא המבוקש .דמיון אחר בקשנו לדעת מרובע ט"ו ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה בכלל הקרוב אליו ר"נ חסר ממנו מרובע ה' שהוא כ"ה ישאר רכ"ה. דמיון אחר בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ד הנה שלישיתו ח׳ ומרובעו ס"ד ודמיונו במעלה הגבוהה ממנו תר"מ נחסר ממנו מרובע השלישית שהוא ס"ד ישאר תקע״ו והוא המבוקש.
ואם לא היה למספר שלישית שלמה ויהיה בו תוספת אחד חסר האחד מהמספר ותוציא המספר המבוקש כמשפט שהראיתיך ומה שיעלה הוסיף עליו את המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש דמיון בקשנו לדעת מרובע ז' והנה אין לו שלישית חסרנו ממנו אחד שהוא נוסף והנה שלישית הנשאר שנים ומרובעו ארבע והנה בכלל הקרוב הדומה לו מ' נחסר ממנו ד' שהוא מרובע השלישית וישאר ל"ו שהוא מרובע ו 'נחבר אליו הו' שיש לו שלישית והז' שהיה מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר מ"ט והוא מרובע ז' .דמיון אחר רצינו לדעת כמה מרובע כ"ב והנה חסרנו אחד ונשאר כ"א ושלישיתו ז' ומרובעו מ"ט והנה בכלל הקרוב אליו ת"צ נחסר ממנו מ"ט שהוא מרובע השלישית נשארו תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם כ"ב מחוברים שהם מ"ג יעלה המחובר תפ"ד וזהו מרובע כ"ב . ואם היו שנים בין המספר שלנו ובין המספר שיש לו שלישית נעשה להפך שנוסיף על המספר שלנו אחד ונדע כמה מרובע המספר שיש לו שלישית ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית וכמספר שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש. דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע כ"ג והנה בעבור שאין לו שלישית שלמה נוסיף לו אחד יהיו כ"ד ושלישיתו ח' ומרובעו ס"ר והדומה לו תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם נחסר מזה המספר מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים ויהיה הנשאר תקכ"ט והוא המבוקש.
ודע כי אם היו שנים מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת ואם היה מספר אחד על שני מספרים אתה צריך לעשות זה פעמים ואם על שלשה שלש על זה המשפט הכל ואם היו שני מספרים על שני מספרים אתה צריך לעשות זה ד' פעמים .דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח הנה כפלנו י' על כ' שהוא כלל עלו ר' ועוד י' על ח' עלו פ' הנה ר"פ ואחר כפלנו ג' על כ' וגם על ח' עלו פ"ד והנה הכל שס"ד. אם היה כלל אחד כולל שני המספרים די לך בג' פעמים. דמיון בקשנו לכפול י"ג על י"ו והנה י' כולל שני המספרים והנה חברנו ג' על ו' עלו ט' והנה יהיה מספרם י"ט וכפול אותו על י' עלו ק"צ נכפול שנים המספרים הקטנים שהם ג' על ו' יעלו י"ח והנה הכל ר"ח. ויש שיספיק לך פעמים לבדם .דמיון בקשנו לכפול חשבון כ"ד על כ"ו הנה כ' כולל שני המספרים וחברנו ד' עם כ"ו שהוא הגדול עלה המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו ת"ר וכפלנו הקטנים זה על זה עלו כ"ד והנה המחובר תרכ"ד. ואם תכפול ג' מספרים על ג' אתה צריך לעשות זה ט' פעמים ועל זה הסדר כל החשבון .וראה אם המספר אחד או רבים אם יהיה מספר זוג נם המחובר יהיה זוג וטעם הזוג הוא באחרים כי כל כלל זוג הוא. ואם היה המספר האחד זוג והשני נפרד והטעם שאינו זוג איזה מהם שיהיה גם המחובר יהיה זוג .ואם המספר האחד נפרד וג"כ האחר גם המחובר יהיה נפרד .ודע כי אם היו המספרים הנכפלים אלה על אלה רבים אתה צריך לכפול אותם במכתב ט' אותיות שהראיתיך. והדרך הסלולה שתשים טורי המספר המעט עליונים ופי׳ המעט בחשבון הכלל ולא תחוש מן הסרטים ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול ואם החשבון שכללו קטן הם יותר מספרים מחשבון שכללו גדול שים אותם עליונים ולא תחוש ואלו היית עושה להפך לא יויק רק יתבלבל מעט על התלמיד. ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון והאחרים בטור השפל כפול הראשון של הטור העליון על הראשון שבטור השפל והעולה כתוב אותו למטה כננד הטור הראשון העליון בטור שלישי ואח"כ כפול המספר הראשון העליון על המספר השני השפל וכתוב בטור השלישי כננד המספר השני העליון וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון. ואם כאשר תכפול הראשון העליון על שכננדו בשפל יתחבר במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל במספרו תכתבנו במספר שהוא אחריו. ואחר שתשלים לכפול החשבון הראשון של הטור העליון על כל מספרי הטור השפל תחל לכפול המספר השני של הטור העליון על מספר הראשון של הטור השפל והעולה כתבהו בטור השלישי כנגד השני העליון ואח"כ תכפול השני שבטור העליון על שני שבטור השפל ותכתבהו בטור השלישי במספר השלישי שהוא שני למספר שהתחלת עתה ממנו ואח"כ תחל במספר השלישי העליון לכפול אותו על ראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו כנגד טור השלישי אשר החילות ממנו וככה המשפט לכלם עד אין קץ עם משפט הפרט להיות התחתון והכלל שיבא אחריו בטור השני לו. ואם היה גלגל בין בטור העליון בין בטור השפל משפטו לכתבו במקום הראוי לו כמשפט כל המספרים שעליו. ואח"כ תחל לחבר מה שעלה בטור העליון עם השפל אם אין בו עשרות תכתוב מה שהוא בחבור ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו ואם יש בו יותר כחוב היותר
| ז | ב | א | ||
| ה | ה | ג | ||
| ---------- | ||||
| ה | ג | ג | ב | ג |
| ה | א | א | ||
| א | ו | |||
| ה | ה | |||
| ---------- | ||||
| ה | ח | 0 | ה | ד |
מבחוץ בחבור שיש לך ובמקום העשרה כתוב אחד שני לו נוסף וכן תעשה לכל היוצאים מהטור העליון והשפל והוצא הנותר מעשרות מבחוץ .ואחר שידעת כמה הוא המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו כמספר מעלות השנים טורים העליונים ממנו בחסרון אחד תדע כי חשבונך אמת.
ואם המספר האחרון בטור העליון הנכפל במספר האחרון בטור השפל ממנו יוצא אל כלל יהיה מספר מעלות הטור השלישי כמספר שני טורים העליונים בלי מגרעת אחד.
דמיון זה רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה וכתבנו קכ"ז בטור העליון כזה ומספר שנ"ה תחתיו אות אות במקומו כפלנו ז' על ה' עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל' במעלה השניה עוד כפלנו ז' העליון על ה' השני התחתון עלו ל"ה כתבנו ה' במעלה השנית תחת ג' וג' בשלישית עוד כפלנו ז' הראשון על ג' התחתון עלו כ"א כתבנו א' בשלישית תחת ג' וב' ברביעית עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן התחתון עלו י' כתבנו א' בשלישית תחת הא' עוד כפלנו ב' העליון על ה' השנית התחתון היו ג"כ י' כתבנו א' תחת ב' ברביעית עוד כפלנו ב' העליון על ג' התחתון והיו ו' כתבנו אותו תחת א' ברביעית עוד כפלנו א' העליון האחרון על ה' הראשון התחתון עלו ה' כתבנוהו בשלישית עוד כפלנו א' על ה' השני התחתון עלו ה' כתבנוהו ברביעית עוד כפלנו א' העליון על ג' התחתון היו ג' כתבנוהו בחמישית אחר ב' והנה נשלם הכפל. חברנו כל אלו המספרים כל מה שהוא ממעלה אחת יחד הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה כתבהו אחר המעלה ההיא ויעלה המחובר מ"ה אלפים ופ"ה
ובחן באחרונה במאזנים. וככה תעשה חשוב כל חשבון שתמצא בטור העליון באיזו מעלה שיהיה כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר ט' ט' אם יותר ט' או פחות ממנו כתוב אותו לבדו והוא מאזני הטור העליון ככה תעשה למאזני הטור השפל עד שתדע כמה המאזנים שלו וכפול מאזני הטור העליון על מאזני הטור השפל והנכפל תוציאהו ט' ט' והנשאר יהיה עמך שמור ואם מאזני אחד מהטורים יהיה ט' אל תייגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם ואחר בדוק מאזני הטור השלישי וראה אם היה שוה לשמור חשבונך אמת ואם לאו הנה טעית :