ביאור:מעומד/חול/מדע/איל משולש/מאמר ראשון
| הבהרה: | ||
|---|---|---|
|
 |
שימו לב! דף זה (או קטע זה) עדיין לא גמור והוא לא מציג את היצירה בשלמותה. דף זה (או קטע זה) נמצא כעת בשלבי הקלדה. אם יש באפשרותכם להמשיך את ההקלדה - אתם מוזמנים. |
איל משולש המבואר
הגדרות ומונחים ראשוניים עריכה
א - הגדרות: הנקודה, הקו, השטח והגשם (המישור והמרחב) עריכה
הנקודה(א) - אין לה לא אורך ולא רוחב ולא גובה.
הקו - יש לו אורך, אבל לא רוחב ולא גובה.
השטח - יש לו אורך ורוחב ולא גובה.
הגשם המרחב - יש לו אורך ורוחב וגובה.
ב - מציאותם של המונחים ההנדסיים עריכה
הנקודה והקו והשטח אינם במציאות, אבל הם(ב) מחוברים אל המציאות.
כי השטח הוא קצה הגשם, והקו הוא קצה השטח, והנקודה היא קצה הקו.
ג - הגדרת צלעות וזויות עריכה
הקוין של קצה השטח יקראו צלעות,
והנקודות במקום שמחוברין שני צלעות יקראו זויות.
ד - צורות ורבי צלעות עריכה
השטח יקיפהו לא פחות מג' צלעות, והשטח נקרא על שם הצלעות;
אם יקיפהו שלוש צלעות יקרא "משולש",
ואם ד' יקרא "מרובע",
ואם חמש "מחומש" וכן לעולם.
ה - צלעות וזויות בצורות עריכה
לעולם לפי מנין הצלעות מנין הזויות,
חוץ משטח עיגולית שיקיפהו קו אחד ואין לה זוית כלל.
ו - מרכז העיגול עריכה
הנקודה שבאמצע שטח העיגול יקרא מרכז, והיא שוה לכל צד במרחק אחד.
ז - קוים בעיגול: אלכסון (קוטר), יתר (מיתר), חצי אלכסון (רדיוס) עריכה
הקו(ג) העובר על מרכז העיגול ועובר מקצה העיגול ועד קצהו יקרא אלכסון העיגול,
והוא הקו הגדול מכל הקוין העוברים בעיגול.
(ד)והקוין המקבילין לו ועוברין גם כן מקצה העיגול ועד קצהו, רק שאינם על מרכז נקראים יתרים.
וקו(ה) היוצא ממרכז עד המקיף הוא חצי אלכסון רדיוס.
ח - מעלות, שניים (שניות), שלישיים (חלקים) עריכה
כל עיגול בין גדול ובין קטן חלקו לש"ס 360(ו) חלקים, וכל חלק נקרא בשם "מעלה".
וכל חלק חלקו לס' 60 חלקים, וקראום "שניים".
וכל שניים חלקו לס' חלקים, וקראום "שלישיים". וכן לעולם רביעיים, חמישיים וכו'.
ט - קשת, מחוגה ומד הזוית, מידות הזוית ומידת האורך עריכה
(ז)מרחב הזוית הוא שתעמיד רגל א' של (ח)המחוגה על הזוית, ותרחיב המחוגה כמה שתרצה, וברגל הב' תעשה קשת ועיגול.
והקשת המסומן בין שני הצלעות של הזוית -- לפי מנין המעלות של הקשת כך מנין מעלות הזוית. כזה:
אם תרצה לידע זוית אג"ב מנקודה א' לנקודה ג' וחוזר לנקודה ב' -
שים רגל המחוגה על נקודת ג', ותרחיב המחוגה דרך משל עד נקודת ד', ותעשה עיגול דה"ח
ותראה כמה מעלות הוא קשת ד"ה מעיגול מתוך עיגול דה"ח -
כך הוא מעלות של זוית אג"ב.
וכן אם תעשה עיגול וז"ט על (ט)[ מרכז ] ג' כפי מעלות קשת ו"ז מעיגול וז"ט
כן הוא מעלות זוית אג"ב,
כי כפי קשת ד"ה אל עיגול דה"ח
כן הוא קשת ו"ז אל עיגול וז"ט.
וכן על איזה מרחק שתרצה, הקשת הנאחז בין הקוין עומדין תמיד על ערך(י) אחד עם היקף עיגול שלהן.
לעולם מרחב הצלעות על שם המעלות, ואורך הצלעות - באמות או טפחים או אצבעות.
סוגי זוויות ומשולשים עריכה
י - זוית ניצבת (ישרה) עריכה
זוית נצבת היא, אשר תחזיק צ' 90 מעלות
והצלעות נצבים זה על זה ביושר ואין נוטה לשום צד.
וצלע אחד יקרא שוכב. ואחר יקרא נצב או עומד כזה:
זוית אג"ב היא נצבת ,וקשת א"ב הוא רביע עיגול,
וקו א"ג נקרא נצב וקו ב"ג נקרא שוכב.
יא - זוית מרווחת (קהה) וצרה (חדה) עריכה
זוית המחזיק יותר מצ' מעלות נקראת "זוית מרווחת" והמחזיק פחות נקרא "צרה" כזה:
זויות א"ב צרות וזוית ג' מרווחת.
יב - סוגי משולשים עריכה
ג' מיני משולשים הם:
- הא': משולש נצב הזוית, והוא שאחד מזויותיה נצבת כזה [ציור A]
- והב': רחב הזוית, והוא שאחד מזויותיה רחבה.
- וג': משולש צר הזוית.
רוחב הזוית כזה(כ) [ציור B]
צר הזוית כזה [ציור C]. והוא שכל זויותיו צרים.
כללי זוויות עריכה
יג - זוית מירבית עד 180 מעלות עריכה
הזוית לעולם לא (ל)יחזיק תעבור ק"פ 180 מעלות.
יד - זויות קדקדיות בקוים חוצים עריכה
שני קוין החולקין זה את זה כזה [ציור A] -- עולין ארבע זויות.
וכל הזויות(מ) ביחד מחזיקין ש"ס 360 מעלות.
ואפילו ג' או ד' קוין החולקין זה את זה מנקודה א' אחת כזה [ציור B] --
טו - זויות משלימות לזוית שטוחה עריכה
כל זוית שעל צד אחד מהקו -- ממקום אחד, שנים או יותר כזה [ציור] -- לעולם הם ק"פ(נ) מעלות.
טז - הצלע הגדולה והזוית הגדולה במשולש זו מול זו עריכה
כל שהזוית יותר גדולה -- הצלע שכנגדה גם כן(ס) יותר הגדולה שבכל צלעי המשולש. (ע)
וכן להפך.
יז - זוית משלימה לאנך עריכה
תשלום הזוית הוא המותר מזוית צרה עד צ' מעלות.
יח - זוית משלימה לישר עריכה
שארית הזוית הוא המותר מזוית איזה שיהיה עד ק"פ מעלות.
ישרים עריכה
יט - מקבילים עריכה
כ - זויות ישר החותך מקבילים עריכה
קו (צ)החותך שני קוין מקבילין - עושה זויות שוות עם המקבילין כזה [ציור].
זויות א' עם ב' וכן ה' עם ז'(ק) -- אחד הם.
וכן ד' עם ג', וח' עם ו' -- אחד הם.
כא - יתר (מיתר) ואלכסון של עיגול עריכה
שני קוין החותכין זה את זה על זויות נצבות
- אם חולקין זא"ז זה את זה על שני חלקים שווים -- שניהם הם אלכסונים
- כזה [ציור] שקו ב"ה וקו ז"ד חולקים זה את זה על שני חלקים שוים על נקודת ט'. - ואם אחד רק אחד חותך את חבירו על חלקים שוים ואילו הקו החותך עצמו אינו נחתך בשווה -- החותך הוא אלכסון והשני הוא יתר.
- כמו קו ב"ה שחותך קו ח"ג - ואם שניהם אינם חותכין זא"ז זה את זה על חלקים שוים -- שניהם נקראים יתירים.
- כמו קו א"ו וקו ח"ג.
והאלכסונים - לעולם חולקים על שני חלקים שוים
רק לא לעולם חותכין על זויות נצבות.
- כמו קו ב"ה וקו ג"ו[1].
ומקום פגיעתן של האלכסונים הוא המרכז כמו נקודת ט' שבצורה.
כב - מקבילים החותכים מקבילים עריכה
שני קוין המקבילין החותכין שני קוין מקבילין אחרים -- (ר)
מקום הפגיעה שוים זה לזה כזה [ציור] קו א"ב ב"ד שוין. וכן קוי א"ב ג"ד גם כן שוים זה לזה.
משולשים עריכה
כג - חפיפת משולשים - צלע-צלע-צלע עריכה
שני משולשים ששלש צלעותיהן של אחד שוה לשל חבירו, כל אחד לכדומה לו --
גם הג' זויות של אחד שוים לג' זויות של חברו.
כד - חפיפת משולשים - צלע-זוית-צלע עריכה
וכן אם שני צלעות וזוית א' שוים לשני צלעות וזוית אחד של השני -- בודאי הנשארים גם כן שוים.
כה - חפיפת משולשים - זוית-צלע-זוית עריכה
וכן אם שני זויות וצלע אחד של זה שוין לשני זויות וצלע של זה -- כמות הנשארים הם גם כן שוים.
כו - משולשים דומים - זויות שוות עריכה
שני משולשים שזויות של אחד שוין לזויות של חברו --
אין צריך להיות צלעותיהם של אחד שוים לצלעותיהם של חברו.
זוית בא"ה (ש)שוה לזוית דג"ה, וזוית אב"ה שוה לזוית גד"ה, וזוית ה' משותף לשני המשולשים אב"ה גד"ה -- אף על פי כן אין צלעות של זה שוין לשל זה.
כז - משולש שוה שוקיים ומשולש שוה צלעות עריכה
משולש אשר שני צלעותיו שוין זה לזה יקרא שוה-שוקיים.
ואשר כל צלעותיו שוין יקרא שוה-הצלעות.
כח - משולש שווה שוקיים בעיגול עריכה
אם תרצה לעשות משולש שוה שוקיים --
תשים רגל המחוגה על קצה שוליים האחד מצלע השלישי,
ותרחיב המחוגה כאורך הצלעות שתרצה לעשות, ותעשה קשת.
ואחר כך תשים רגל המחוגה על קצה האחר מהצלע השלישי,
ובאותו מרחב מהמחוגה תעשה גם כן קשת.
ומאותה הנקודה במקום שנפגשים שני הקשתות תמשוך שני קוין לקצוות הצלע השלישי כזה:
ביאור - ר' שמואל מלוקניק עריכה
(א) ר"ל כל מקום שנזכר בחכמה זו "נקודה" היא קטנה כל כך שאי אפשר לחלקה כלל, לא באורך ולא ברוחב ולא בגובה, לפיכך אינה במציאות כלל כמ"ש בסימן ב'. שאלו יצויר לה חילוק באורך אם כן היא קו. וכן ברוחב וגובה.
(ב) מחוברים וכו': ר"ל אל מציאות הגשם מחובר במחשבה שטח אחד לכל צד שבו אם יש לו ששה קצוות יש לו ששה שטחים שטח לכל צד וכן השטח יש לו קו אחד במחשבה לכל צד. וכן הנקודה.
(ג) העובר וכו': כגון קו א"ב שבעיגול העובר על מרכז ג' [ציור] הוא גדול מקווי ד"ה ו"ז.
(ד) והקוים המקבילין וכו': הם קוי ד"ה ו"ז.
(ה) היוצא וכו': הוא קו ג"א או ג"ב וכדומה להם לכל צד.
(ו) חלקים: והטעם שבחרו במספר ש"ס דוקא לפי שאפשר לחלקו לחלקים שלמים ולא נצטרך לחלק חלק א' לחצאין כי חציו הוא ק"פ ושלישיתו הוא ק"כ ורביעתו הוא צ' וחמישיתו הוא ע"ב וששיתו הוא ס'. וכן שמינית ותשיעית, עיין בפי' על קידוש החודש פ' יא הלכה ז (פי"א מהל' קידוש החדש ה"ז).
(ז) מרחב הזוית: ר"ל כל מקום שנאמר זוית פלוני מחזיק כך וכך מעלות הוא על דרך זה המבואר בפנים דהיינו סך מעלות הקשת מעיגול קטן או גדול הנאחז בין שני הצלעות החופפים הזוית ההוא.
(ח) המחוגה: שקורין בל"א צירקיל.
(ט) מרחק ג’ -- צ"ל מרכז ג'.
(י) אחד -- צ"ל ערך אחד.
(כ) כזה: ר"ל שזוית אחד מהמשולש הוא רחב שמחזיק יותר מצ' מעלות.
(ל) יחזיק: והטעם כי אין זוית שלא יהיו לו ג' צלעות החופפים אותו והנה ק"פ מעלות הוא חצי עיגול ואין לו רק צלע אחד והוא אלכסון העיגול כמו קו א"ב בציור הנרשם בביאור ס"ז, עיין שם.
(מ) ביחד: ר"ל כשתעשה עיגול סביב כל הזויות יהיה עיגול שלם המחזיק ש"ס מעלות וכן ג' או ד' קוין החולקין וכו'.
(נ) ק"פ מעלות: מבואר מפני שהוא חצי עיגול.
(ס) יותר הגדולה: כמו צלע א"ב בסימן י"א הנ"ל היותר גדולה בכל הצלעות מפני שהיא נגד זוית אג"ב שהיא הגדולה בכל זוית המשולש.
(ע) וכן להפך: ר"ל אם ידוע שצלע א"ב הנ"ל גדול מכל צלעי המשולש תדע מזה שזוית אג"ב הגדולה מכל זוית המשולש.
(פ) לא יפגשו: ר"ל שאם ימשכו הקוין על יושרם עד לאין חקר לא יפגוש קו אחד בחבירו.
(צ) קו החותך: כגון קו א"ג החותך לקו א"ה ולקו ח"ג המקבילין.
(ק) אחד הם: ר"ל מדה אחד להם אם תעשה עיגול על זוית א' ותעשה עיגול כמוהו על זוית ב' יהיה הקשת הנאחז בין שני הצלעות של כל א' שוים בסך מעלות.
(ר) מקום הפגיעה: פירוש הזוית. מקום שפוגעין קו א"ב עם קו א"ג נקרא מקום הפגיעה וכאן פירושו הקו העליון ממקום הפגיעה האחד עד מקום הפגיעה השני. וכן הקו התחתון שכנגדו שוין וכן מהצדדין.
(ש) שוה לזוית דג"ה: כנ"ל בסימן כ' מפני שקו א"ה חותך לשני קוין מקבילין הוא קו א"ב וקו ג"ד לפיכך זוית בא"ה וזוית דג"ה שוין.
(ת) קצה האחד: ר"ל על נקודת ג' מצלע ג"ד ותרחיב המחוגה דהיינו שיהיה מג' ועד ה' כמדת אורך קוי(?) ג"א ד"א שתרצה לעשות והטעם מבואר כי כל הקוין היוצאים ממרכז ג' עד המקיף כולם שוים והם חצי אלכסון וכן ממרכז ד' עד המקיף השני.
הערות ויקיעורכים עריכה
- ^ כוונתו ברורה על הקו הקוטר שאינו מסומן בציור. לשם כך הוספנו ציור חדש