איל משולש/מאמר תשיעי

<< · איל משולש · מאמר תשיעי · >>

איל משולש

שיג

והנה כל ידיעת המשולשים הוא על ידי הערכים וידיעת ערך הנעלם הוא על ידי כפלת ערך אחד בחבירו וחולק הכפל הזה על ידי ערך השלישי ^(א)כמ"ש [ בסימן מ"ה ] וידיעת כל המשולשים הוא הכל על ידי משולש נצב הזוית על ידי זוית הנצבת ובקע זוית הנצבת הוא על הבקע והוא 100,000 חלקים לפיכך ^(ב)אם יבא כל הבקע בכפילת הערכין אין צריך לכפול אחד בחבירו אלא תוסיף על בקע השני חמשה נולי כזה 00000 ^(ג)ואם כל הבקע בחלוק הערכין אין צריך לחלק ^(ד)הערך השני אלא תטול חמשה אותיות מן הבקעים והנשאר הוא ^(ה)הבקע בקירוב. ואם תרצה לידע ^(ו)בדקדוק תקח החמשה אותיו שלקחת ותחלק במספר 100,000 והוא ^(ז)חלקים הנוספת והנה חלוק הבקעים הוא חמור מאוד ואם יבא כל הבקע בחלוק הוא קל מאוד ע"כ שמו פניהם לשום כל הבקע בחלוק כמו שיתבאר.

שיד

כבר בארנו שאם אחד מהקצוות נעלם שהקצה השני יבא בחלוק ואם אחד מן האמצעים נעלם שהאמצעי השני יבא בחלוק לפיכך אם יבא כל הבקע בקצוות כזה כערך כל הבקע אל בקע א' מהזויות כן ערך אלכסון ^(ח)הנצב אל צלע שכנגד הזוית הנ"ל אם ^(ט)צלע הוא הנעלם אז יבא כל הבקע בחלוק אבל אם אלכסון הוא הנעלם יבא הבקע בחלוק ע"כ תהפך שיבא כל הבקע באמצע וערך אחר בתחלה וצריך שתמצא ערך שיהיה כערך כל הבקע אל הבקע כן ערך ד"א אל כל הבקע. והנה נתבאר בסימן ?? כי כערך כל הבקע אל הבקע כן חותך תשלום הבקע אל כל הבקע ע"כ תעריך כערך חותך תשלום הזוית אל כל הבקע כן ערך האלכסון אל הצלע.

שטו

והנה אסדר לפניך ערכי משולשי נצב הזוית כזה^(י) [ציור]

כב-בא-אג-בג . בא-בג-בג-אב . כב-נא-אב-בג . כב-חא-אב-אג . נא-חא-בג-א-ג.

וכ"ז שעשינו עם הזוית א' כן יכולים לעשות עם זוית ג' ובכ"ז יכולים לחלוק שיבא כל הבק' באמצע וכן אם אין בכל הערך ערך של כל הבקע יכולים לעשות שיבא בקצוות או באמצע כל הבקע ואסדר לפניך כל הערכין^(כ)

כב-ב-חת-כב- . כב-נ-תנ-כב . כב-ב-ח-נ- . כב-ב-תנ-תב- . כב-נ-תח-ח

וכל מה שעשינו כאן עם הבקע או נוגע או חותך כן יכולים לעשות ^(ל)עם תשלום להפך ובאלו הערכין תוכל להחליף שיבא כל הבקע באמצע אם הוא בקצוות וכן אם הוא באמצע להחליפו שיבא בקצוות וכן אם אין שם בכל הערך כל הבקע שיבא בהם כל הבקע באמצע או בקצוות.

שטז

כיצד?

• בערך הא' של המשולשים נצב הזוית ^(מ)תחליף את כב-בא אל חג-כב
• ^(נ)בערך השני תחליף את בא-בג אל כב-בג או ^(ס)בג-בא אל כב-נא
• ^(ע)בערך הג' תחליף את כב-נא אל נג-כב
• ^(פ)בערך הד' תחליף את כב-חא אל חג-כב
• ^(צ)בערך החמישי תחליף את נא-חא אל בא-כב או אל כב-חג.

שיז

אם תדע זוית א' ותחלק אותו לשנים כזה [ציור] שתחלק זוית בא"ג לזוית בא"ד גא"ד ^(ק)ותדע ערכי זוית בא"ד אג"ד זו לזו ותרצה לידע הזוית עצמם תחבר בקעי זוית בא"ד גא"ד יחד ותגרע בקע זוית בא"ד מבקע זוית גא"ד ותעריך ^(ר)כערך החבור אל הנות' מהגרעון כן ערך נוגע חצי זוית בא"ג אל החצי ^(ש)מהנותר מהגרעון של הזוית הנ"ל. ואחר כך תוסיף חצי זוית של הנותר הנ"ל על חצי זוית בא"ג ויצא זוית גא"ד. וכן אם תגרע מן חצי זוית בא"ג יצא זוית בא"ד. ^(ת)והמופת על זה שתעשה עיגול סביב זוית בא"ג ותעשה יתר ב"ג לזוית בא"ג וקו ^(א*)ב"ז בקע לזוית בא"ד וקו ח"ג בקע לזוית גא"ד -- הנה ב' משולשים ^(ב*)בז"ט גח"ט זויותיהן שוות כי זוית ^(ג*)בז"ט גח"ט הן נצבות ^(ד*)זוית בט"ז גט"ח הן מקבילות הן גם כן שוין כמ"ש ^(ה*)[ בסימן ס"א ] זויות זב"ט ^(ו*)חג"ט הן שארית המשולשין על כן גם הם שוין. אם כן כערך ^(ז*)קו ב"ז אל קו ג"ח שהן הבקעים כן ערך קו ב"ט אל קו ג"ט ואם כן כערך חבור קוי ב"ז ^(ח*)ג"ח אל הנותר ^(ט*)מגירעון הקוין זה מזה כן ערך קו ^(י*)ב"ט שהוא חבור קוי ב"ט ג"ט אל קו ט"י שהוא הנותר מגרעון קו ב"ט מקו ג"ט כמ"ש ^(כ*)[ בסימן מ"א ] והוא גם כן ערך קו ג"ו שהוא חצי קו ב"ג אל קו ט"ו שהוא חצי קו ט"י כמ"ש בסימן מ"ו. ואם תעשה קשת כ"ל שוה לקשת ב"ג יהיה קו ב"ו זוית ^(ל*)בא"ה שהוא חצי זוית בא"ג וקו ט"ו יהיה נוגע זוית דא"ה שהוא חצי זוית ^(מ*)דא"ו(?) שהוא הנותר מגרעון זוית בא"ד מזוית גא"ד וזה מה שרצינו לבאר.

שיח

היפוך הבקע הוא הנותר מגרעון תשלום הבקע מכל הבקע כזה [ציור] קו ה"ג הוא היפוך ^(נ*)הבקע ב"ה והוא הנותר מגרעון קו ו"ה ^(ס*)שהוא תשלום בקע ב"ה והוא הנשאר ^(ע*)מחצי אלכסון שנמשך עליו הבקע ממקום הבקע עד העיגול והוא הנקרא גם כן חץ היתר של כפל הבקע כמו קו ב"ד הוא יתר כפל בקע ב"ה וקו ג"ה עומד עליו כמו חץ והיפוך בקע א' הוא לקשת ולשאריתו כמו קו ג"ה הוא היפוך בקע לקשת ג"ב ולקשת ח"ב הואיל ובקע ב"ה הוא משותף לשניהם.

שיט

אם תרצה לעשות תמונה בעל שוה צלעות ושוה זוית תעשה עיגול ותחלק את ההקף על חלקים שוים כ"כ חלקים כמו צלעות בהתמונה ותמשוך יתירים מנקודה לנקודה והעיגול יהיה כ"כ גדול עד שהיתרי' הנ"ל יהיו שוה להצלעות הנ"ל וכיצד תעשה ^(פ*)תעריך את היתר הנ"ל אל כל הבקע ואחר שתדע אורך כל הבקע תרחיב המחוגה על אורך כל הבקע ותעשה עיגול. דרך משל אם תרצה לעשות משולש תחלק העיגול על ג' חלקים ותחלק על יתירים של ק"כ מעלות כזה [ציור] ואם תרצה לעשות מרובע תחלק על ארבעה יתירים שכ"א הוא יתר לצ' מעלות ואם תרצה לעשות מחומש תחלק לחמש יתירים שכ"א הוא יתר לע"ב מעלת וכן לעולם.

שכ

מרכז מכל התמונות שוה הצלעות הוא נקודה באמצע התמונה שהוא שוה לכל הזויות במרחק א' בין משולש בין מרובע או מחומש או כל התמונות אחרי שהתבאר שכל התמונות זויותיהן נוגע בעיגול אם כן מרכז העיגול הוא גם כן מרכז לכל התמונות מרחק שוה לכל הזויות.

שכא

בכל התמונות שוה הצלעות הקוין העוברין על המרכז חולקין זה את זה על שני חלקים שוין כמו במרובע אגז"ה -- קוי א"ה ג"ז ב"ו ח"ד שחותכין זה את זה על מרכז ט' חותכין זה את זה על מחצה שכל אחד עד נקודת ט' הוא חצי הקו. וכן הוא בכל התמונות. וכן אם הוא אינו שוה הצלעות רק שהצלעות שכנגדן שוין זה לזה כמו במרובע גהט"ז שצלעות ג"ה ט"ז שוין. וכן צלעות ג"ט ה"ז שוין. אבל צלעות ג"ה ג"ט אינן שוין מ"מ הקוין העוברין על המרכז חותכין זה את זה על חלקים שוין וכן הוא בכל התמונות שיש לו צלעות זוגות כמו משושש או בעל שמנה צלעות או עשרה או יותר רק שהצלעות שהן זה כנגד זה שוין זה לזה ושני קוין שחותכין זה את זה על זויות נצבות הא' חותך השני על חלקים שוין והשני אינו חותך אותו על חלקים שוין החותך עובר על המרכז והשני אינו עובר ואם שניהם אינם חותכים זה את זה על חלקים שוים שניהם אינם עוברים על המרכז והקוין העוברין על המרכז חותכים זה את זה על חלקים שוין אף שאינם חותכים זה את זה על זויות נצבות ^(צ*)כנ"ל בעיגול. וכן הקוין עד המרכז הוא חצי מן הקוין ההולכים על המרכז עד קצה השני.

שכב

הקו העובר על המרכז חולק את השטח על שני חלקים שוין בין שעובר מזוית לוזית או משאר מקומות שבהיקף בין שהוא שוה צלעות או שהצלעות זה כנגד זה בתמונה זוגות הצלעות שוין כמו במרובע אדי"ז שקוי א"ז ב"ח ג"ט ד"י ה"כ ל"ו חולקין את השטח על שני חלקים שוין וכ"ה בכל התמונות וכן אם המרובע אינו שוה הצלעות רק שהצלעות שכנגדן שוין כמו במרובע בהכ"ח כזה [ציור] שקוי ב"ח ג"ט ד"י ה"כ ל"ו ז"מ חולקין את השטח בהכ"ח על שני חלקים שוים. וכן הוא בכל התמונות שהצלעות שכנגדן שוין זה לזה.

והמופת על זה כי במרובע אדי"ז קו א"ז חולק את השטח לב' חלקים שוין כי משולשין אד"ז אי"ז ^(ק*)שוין כמ"ש [ בסימן ע"א ] וכן קו ב"ח כי משולשי אב"מ זח"מ שוין כי קוי א"מ ז"מ שוין. וכן קוי ח"מ ב"מ וכן קוי א"ב ח"ז. אם כן גם שטחי המשולשים אב"מ זח"מ שוין. תגרע ממשולש אד"ז משולש אב"מ ותוסיף עליו משולש זח"מ. אם כן שטח ב"ד ז"ח שוה לשטח אד"ז. וכן הוא בכל הקוין הנ"ל. וכן במרובע בהכ"ח. וכ"ה בכל התמונות הנ"ל. וכן הוא בעיגול שהאלכסון חולק את ההיקף ואת השטח לב' חלקים שוין.

שכג

שני קוין החולקין זה את זה על המרכז וחולקין את ההקף על ד' חלקין שוין -- חולקין גם כן את השטח על ד' חלקים שוים אם התמונה הוא שוה הצלעות או הוא עגול כמו במרובע אדי"ז שקוי א"ז ד"י חולקין את השטח על ד' חלקים שוין אחרי שהמשולשים אד"מ דז"מ זי"מ אי"מ הן שוין כי כל הצלעות של אחד מהם שוה לחבירו. אם כן גם השטחין שוין. וכן קוי ב"ח ה"כ חולקין לד' חלקם שוין מטעם שנתבאר בסימן הקודם. וכן קוי ג"ט ל"ו וכן הוא בכל התמונות שוה הצלעות או בעיגול.

שכד

אבל אם אינן שוה-הצלעות רק שהצלעות שכנגדן שוין -- אינן חולקין את השטח על חלקים שוין אלא אם כן חולקין באמצע הצלעות כמו קוי ג"ט ל"ו אבל בשאר מקומות אם חולקין את השטח על ד' חלקים שוין אינן חולקין את ההקף על ד' חלקים שוין כמו קוי ב"ח ה"כ שחולקין את השטח בהכ"ח על ד' חלקים שוין ואת ההקף אינם חולקים לשוין כי קוי ב"ה ח"כ גדולים מקוי ב"כ ה"ח.

והמופת שקוי ב"ח ה"כ חולקים את השטח ^(ר*)שוין -- כי במשולש בכ"נ אם תוריד בתוכו עמוד נצב נ"ל חולק את המשולש לב' חלקים שוין כמ"ש ^(ש*)[ בסימן נ"ב ] כי המשולש בכ"נ הוא משולש שוה שוקיים וכן במשולש בה"נ אם תמשוך בתוכו קו ג"נ נעשין בתוכו ב' משולשין בג"נ הג"נ שוין ובמרובע בגל"נ שני המשולשין בג"נ בל"נ שוין כמ"ש ^(ת*)[ בסימן ע"א ] אם כן כל הד' בג"נ הג"נ בל"נ כל"נ שוין. אם כן גם המשולשין בכ"נ בה"נ שוין. וכן כל הד' משולשין בה"נ חה"נ בכ"נ חכ"נ שוין מטעם זה.

שכה

ומכאן מבואר ששני משולשין שוין שוקיים שהשוקיים של זה ^(*א)שוין לשל זה ושטחן גם כן שוין זה לזה אף על פי כן צלע הג' וזוית של זה אינן שוין לשל זה כי במשולשין בה"נ בכ"נ שטחן שוה כמ"ש בסימן הקודם והשוקיים ה"נ כ"נ שוין ^(*ב)כמ"ש [ בסימן שכ"ג ] וקו ב"נ משותף לב' המשולשים אף על פי כן צלע ב"ה גדול מצלע ב"כ וכן זוית בנ"ה גדול מזוית בנ"כ כי זוית בנ"ה היא רחבה וזוית בנ"כ היא צרה וה"ה זוית של השוקיים גם כן אינן שוין כי הזוית של משולש בכ"נ הוא גדול משל משולש בה"נ כי הזויות של השוקיים הן שארית הזוית בנ"ה בנ"כ ושארית זוית בנ"כ הוא גדול משארית זוית בה"נ כנ"ל אבל אם שני משולשין שוה שוקיים אף על פי שאין ידוע רק שהצלע השלישי של זה שוה לשל זה ^(*ג)וכן זויותיהן השלישי שלהן שוין כל הכמותין שלהן וכן השטחים שלהן שוין.

שכו

וכן בכל התמונות שכל הכמותין של זה שוין לשל זה ^(*ד)והתמונות שוות גם השטחים שוין אבל אם השטחין שוין ^(*ה)אין צריך להיות הכמותין שוין אף שכל הכמותין שלהן אינם שוים של זה לשל זה אף על פי כן אפשר להיות השטחין שוין.

שכז

וכן אפ ההקיפים שוים אין צריך להיות השטחים או הכמותים שוין או אם השטחים שוים אין צריך להיות ההקפים שוים, ודבר זה הוא בכל התמונות חוץ מעיגול שאם ההקף שוה לשל חברו(?) גם השטחין שוין וכן אם השטחין שוין גם ההקיפים שוים.

שכח

שני תמונות שוות שהאחד הוא בעל צלעות שוות והשני הצלעות אינן שוות וההקפים שוים בעל שוה הצלעות שטחו גדול משטח הצלעות שאינן שוות כמו במרובע אבג"ד [ציור] שהצלעות א"ב א"ג ב"ד ג"ד שוין שכל אחד ארכו דרך משל 6, אם כן הקיפו 24 ושטחו 36. ומרובע הוז"ח [ציור] שצלעות ה"ו ז"ח ארכן 8 וצלעות ה"ז ו"ח ארכן כל אחד 4, אם כן הקיפן גם כן 24 אבל שטחו הוא 32. וכן הוא בכל התמונות. וכן להיפוך אם שני השטחים שוים על כרחך הקיפן של הצלעות שאינן שוין גדול מהקף בעל שוה צלעות והוא מבואר ממה שקדם.

שכט

שני תמונות שוות בעלי צלעות שוות והצלעות של זה שוין לשל זה רק שבא' הוא כל הזויות שוות ובשני הזויות אינן שוין שטח בעל שוה הזויות גדול משטח הזוית שאינן שוין כמו במרובע אבג"ד הוז"ח שצלעותיהן בעצמן שוין זה לזה וכן צלעות של זה שוין לשל זה רק זויותיהן מרובע אבג"ד שוין אבל זוית מרובע הוז"ח הזויות אינן שוים כי זוית חה"ו חז"ו הן רחבות וזוית הח"ז הו"ז הן צרות שטח מרובע אבג"ד גדול משטח מרובע הוז"ח וכ"ה בכל התמונות חוץ ממשולש שהמשולש נצב הזוית ^(*ו)הוא גדול מכל המשולשים.

והמופת על זה כי במרובע אבג"ד שני המשולשין אב"ד אג"ד הן נצבי הזוית ושטחן הוא חצי משטח ^(*ז)המרובע אבג"ד ובמרובע הוז"ח משולש הח"ז הוא צרה ומשולש חה"ו הוא רחב ושטחן של כ"א הוא משטח חצי ממרובע הוז"ח. אם כן משולש אג"ד גדול ממשולשים הח"ז חה"ו אף שהשוקיים שלהן שוות.

של

התמונות שאינן שוות דרך משל שהא' הוא משולש והשני מרובע והשלישי מחומש וכן כיוצא בהן והקיפן שוה שטח של רב הצלעות גדול משל מעט הצלעות כמו שטח מחומש גדול משטח מרובע וכן לעולם והטעם כי כל שהוא רבות הצלעות הזויות הן יותר רחבים כמ"ש ^(*ח)בסימן ?? והן יותר ממעטין מהשטח וקטן] מכל השטחין הוא משולש וגדול מכל השטחין הוא שטח עיגולי שאין לו זוית כלל. וכן הוא להיפך אם שטחן של התמונות הן שוות היקף של מעט הצלעות הוא גדול משל רב הצלעות.

שלא

למצא מרכז בכל התמונות אם התמונה היא של זוגות הצלעות תמשוך קו מזוית לזוית שכנגדו וכן מזוית אחר לזוית שכנגדו ובנקודת הפגיעה שם המרכז כי במרובע אבג"ד הוז"ח שנקודת ט' י' הוא מרכזם במקום שנפגשים הקוים א"ד ב"ג ה"ז ח"ו רק שהצלעות שהם זה כנגד זה שוין ואם הוא ^(*ט)נפרד הצלעות והצלעות הן שוין תרחיב המחוגה כמו שתרצה ותעשה קשתות ^(*י)בשני ראשי צלע של א' מהצלעות משני הצדדין כנ"ל בסימן ?? ותמשוך קו על שני ראשי הפגיעה וכן תעשה בצלע ^(*כ)אחר ותמשוך גם כן קו ^(*ל)ובמקום שנפגעין שני הקוין שם הוא המרכז. וכן הוא ^(*מ)בכל ג' נקודות שתרצה לעשות עיגול שיהא קשת העיגול עובר כל הג' נקודות וצריך אתה מקודם למצא המרכז תעשה גם כן כנ"ל שיעשה במחוגה על שני הנקודות ותעשה קו וכן תעשה באחד משני הנקודות ובנקודה השלישית ונקודת הפגיעה היא המרכז.

שלב

ועתה אבאר לך למצא השטח בכל התמונות שהן שוות הצלעות ושוות הזויות קודם תעשה עיגול שיהא הזויות נוגעות בעיגול כנ"ל בסימן רפ"ה ואם כן כל הצלעות הן יתירים לעגול וכל הצלעות ביחד הן יתירים לש"ס מעלות. אם כן תדע כל צלע לכמה מעלות מהקשת הוא יתר. דרך משל אם הוא מרובע כל צלע הוא יתר לרביע העיגול שהוא צ' מעלות. ואם מחומש לחמישית העיגול. וכן לעולם, לפי מנין הצלעות כך הוא חלקי העיגול. ואחר שתדע אורך הצלעות תעריך ^(*נ)אותו אל כל הבקע ואל כל חלקי הבקע והיתירים וההפוך הבקע ועל פי זה תדע את השטח.

שלג

כיצד במשולש? ^(*ס)כבר ידעת שמידיעת הצלעות תוכל לידע הנצב ותכפול הנצב עם חצי השוכב והוא שטח המשולש ועתה הואיל ואנו עסוקים במשולש שוה הצלעות אבאר בדרך אחר לידע את הנצב. תעשה עיגול כנ"ל כזה [ציור] ותמשוך בתוכו מזוית ג' קו ג"ד נצב על צלע א"ב קו ה"ד ידוע ^(*ע)שהוא חץ היתר א"ב. תגרע קו ה"ד מקו ה"ג, אם כן קו ג"ד גם כן ידוע. תכפול קו ג"ד עם קו א"ד -- יצא שטח אב"ג.

שלד

ובמשושש ^(*פ)תכפול יתר שליש העיגול עם ג' רביעי האלכסון ושטחו שוה לשטח המשושש. והמופת על זה שתעשה עיגול סביב כזה [ציור] הנה שטח מרובע בגו"ה הוא מכפילת צלע ב"ו שהוא יתר שליש העיגול עם צלע ב"ג שהוא חצי האלכסון ^(*צ)כמ"ש [ בסימן ע"ז ], נשאר משטח המשושש משולש אב"ו ומשולש גד"ה ושני השטחים שלהן שוים כמ"ש ^(*ק)[ בסימן שכ"ה בסופו ] ושטח המשולש אב"ו הוא מכפלת חצי הנצב אז עם כל היתר ב"ו כמ"ש בסימן ??. וכן הוא שטח גד"ה שטח שני המושלשין ביחד הם עפלת הנצב א"ז עם היתר ב"ו. תוסיף על המרובע בגו"ה יצא לך כפלת קו א"ח עם קו ה"ג וקו א"ח ^(*ר)הוא ג' רביעי האלכסון ^(*ש)כמ"ש [ בסימן ע"ז ]. וזה מה שרצינו לבאר.

שלה

ובתמונה בעל שמנה צלעות שטחו הוא ככפלת האלכסון עם יתר רביעי הקשת. והמופת שתעשה עיגול ובתוכה שמנה יתירים שוים ובתוכם של היתירים תעשה מרובע מיתרים של רביע עיגול כזה [ציור] הנה שטח מרובע חבו"ד כ"א הוא מכפלת צלע ח"ב שהוא יתר רביע עיגול עם קו ט"י ^(*ת)שהוא חצי האלכסון פחות קוי א"ט ה"י. נשאר משטח התמונה צלעות ד' משולשים אח"ב בג"ד דה"ו וז"ח והן שוין משולש אח"ב שטחו הוא כפלת חצי קו א"ט עם היתר ח"ב כנ"ל. ^(א')אם כן כל הד' משולשין הוא ב' פעמים כפלת קו א"מ(?) עם קו ח"ב והוא ככפלת קו א"ט עם קו ח"ב וכפלת קו י"ה עם קו ו"ד. תוסיף על המרובע חבו"ד יצא כפלת היתר ח"ב עם כל האלכסון וכן תוכל ^(ב')לידע במחומש וכל שאר התמונות על פי הנ"ל.

שלו

משולש שוה הצלעות שטחו מחצה שטח משושש שוה הצלעות עם העיגול שסביב מרכזן שוין כמו בתמונה שנתבאר ^(ג')בסימן [ הקודם ]. משולש אה"ג הוא חצי מן המשושש ששם כי המשולשין או"ב או"ה אב"ג הד"ג הן שוין אחרי שצלעות של המשולשין של א' שוה לחברו והמשולש אב"ג הוא חצי מרובע בזח"ג כמ"ש סימן ע"ד. וכן משולש או"ה הוא חצי ממרובע וזה"ח. אם כן שני המשולשין אב"ג או"ה שטחן חצי משטח מרובע בגו"ה. אם כן שטח מרובע בגו"ה מחזיק ד' פעמים כמו משולש או"ב. תוציא המרובע בגו"ה מן המשושש הנשארים שני המשולשים או"ב הד"ג וע"כ שטח המשושש מחזיק ששה פעמים כמו המשולשים הנ"ל. תוציא ג' משולשים אב"ג או"ה הד"ג -- נשאר בתוך המשולש אה"ג השטח כמו שטח ג' משולשים הנ"ל. אם כן שטח המשולש אה"ג הוא חצי מהמשושש.

ביאור - ר' שמואל מלוקניק

(א) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן מ"ה

(ב) אם יבא כל הבקע וכו':    פירוש כגון שיש לפניך ד' מספרים נערכין כזה -- ^א1000 . ^בכל הבקע . ^גבקע מן 100 חלקים . ^דבקע מן 10,000 -- ויהיה מספר הד' נעלם. אם כן תצטרך לכפול ב' מספרים האמצעים דהיינו שתציג מלמעלה מספר 100,000 ולמטה מספר 100 ותכפלם ויעלה לך 10,000,000 ואינך צריך לזה אלא תוסיף תיכף על בקע השני דהיינו מספר 100 חמשה נולי ויעלה חשבון הנ"ל.

(ג) ואם כל הבקע בחלוק וכו':    הוא ד"מ(?) כזה -- ^א100,000 . ^ב50,000 . ^ג24,000 . ^ד12,000 -- ומספר הד' הוא נעלם ותצטרך לכפול מספר הב' במספר הג' ולחלוק למספר(?) א' דהיינו כל הבקע אבל אינך צריך לחלוק זה דהנה הכפל עולה 1200,000,000. תטול מזה החשבון חמשה נולי וישאר הוא מספר הד'.

(ד) הערך השני:    ר"ל כפלת ב' מספרים האמצעים.

(ה) הוא הבקע:    ר"ל הבקע הרביעי.

(ו) בדקדוק תקח:    נ"ל להגיה לא תקח, ור"ל שיעזוב החשבון עם כח הח' נולין ויחלקם במספר 100,000.

(ז) חלקים הנוספות:    ר"ל של מספר הרביעי הנעלם שהוצרכת להוסיף.

(ח) הנצב:    תיבה זו נ"ל יתר. ועיין בסימן פ"ז.

(ט) אם צלע הוא הנעלם:    צ"ל אם צלע שכנגד הזוית הוא הנעלם. דרך משל [ציור] כערך כל הבקע אל בקע זוית גד"ב כן ערך אלכסון ב"ד אל צלע ב"ג. ואם צלע ב"ג הוא נעלם ע"כ צריך לכפול ב' מספרים האמצעים ולחלק אחר כך על מספר א' שהוא כל הבקע והוא חמור כנ"ל ע"כ צריך להפוך הערך שיבא כל הבקע באמצע. ואם תהפוך כמו שהוא עתה דהיינו : ^אבקע גד"ב . ^בכל בקע . ^גב"ג . ^דב"ד -- איך תכפול ב' מספרים האמצעים ומספר ג' אינו ידוע. ואתה צריך ע"כ לכפול הקצוות ולחלקם על כל בקע והוא חמור כנ"ל. ע"כ צריך שתמצא עוד ערך כזה בכדי שיהיו שני מיני ערכין שיש בהם שני מספרים שוים.

• ערך א' הנ"ל -- ^אכל בקע . ^בבקע גד"ב . ^גצלע ב"ד . ^דצלע ב"ג.
• ערך ב' -- ^אכל בקע . ^בבקע גד"ב . ^גחותך תשלום הבקע . ^דכל בקע.

ואם כן שני מספרים הראשונים שוים בשני הערכין והנשארים גם כן נערכין כזה:

• ^אחותך תשלום . ^בכל בקע . ^גצלע ב"ד . ^דצלע ב"ג.

ועתה יבא כל הבקע בכפל עם צלע ב"ד ויחלק על חותך תשלום ואולם ביאור מה שאמר "כערך כל הבקע אל הבקע כן חותך תשלום אל כל הבקע" אראך בחוש עיין בצורה שאחרי זה, משולש בא"ח ומשולש בז"ה צלעותיהם נערכין כנ"ל בסימן צ"א והנה כערך כל הבקע שוהא קו ב"ז אל בקע זוית זב"ד ממשולש זב"ד שהוא קו ד"ז וכן קו ה"ב שהוא מקביל לו כן חותל תשלום בקע זב"ד התשלום הוא קו ה"ז וחותכו הוא קו ב"א אל כל הבקע הוא קו ב"ח השוה אל קו ב"ז.

(י) כב - בא וכו':    כל אלו הם ראשי תיבות. ויש כאן חמשה מיני ערכין, כל אחד מד' מספרים.

• ערך הראשון הוא כערך כל בקע אל בקע זוית א' כן ערך צלע א"ג אל צלע ב"ג
• ערך השני -- כערך בקע זוית א' אל בקע זוית ג' כן ערך צלע ב"ג אל צלע א"ב.
• ערך השלישי -- כערך כל בקע אל נוגע זוית א' כן ערך צלע א"ב אל צלע ב"ג.
• ערך הרביעי -- כערך כל בקע אל חותך זוית א' כן ערך צלע א"ב אל צלע א"ג.
• ערך החמישי -- כערך נוגע זוית א' אל חותך זוית א' כן ערך צלע ב"ג אל צלע א"ג.

וכל זה עיין בצורה הזאת ועיין בסימן כ"ו פ"ז צ"ב ותבין.

(כ) כב - ב - חת:    הוא ראשי תיבות --

• ^אכל בקע . ^בבקע . ^גחותך תשלום . ^דכל בקע. רצה לומר כערך קו ב"ז שבצורה שהוא כל בקע שוה לקו ב"ח אל בקע זוית זב"ד שהוא קו ד"ז -- כן חותך תשלום שהוא קו ב"א שהוא חותך לקו ה"ז שהוא תשלום בקע ד"ז אל כל בקע שהוא קו ב"ח. והמופת על זה עיין לעיל סימן צ"ב.
• וכן כערך ^אכל בקע . ^בנוגע תשלום . ^גנוגע . ^דכל בקע. ורצה לומר כערך קו ב"ג אל קו ג"א כן קו ח"א אל ח"ב. והמופת כנ"ל בסימן צ"ב.
• וכן כערך ^אכל בקע . ^בבקע . ^גחותך . ^דנוגע. ורצה לומר כערך קו ב"ז אל קו ז"ד כן קו ב"א אל קו א"ג. והמופת על זה עיין סימן ש"ב.
• וכן כערך ^אכל בקע . ^בבקע . ^גתשלום נוגע . ^דתשלום בקע. ורצה לומר כערך קו ב"ח אל קו ב"ה שהוא שוה לבקע ד"ז כן קו ח"א אל קו ה"ז. והמופת כנ"ל בסימן ש"ב.
• וכן כערך ^אכל בקע . ^בנוגע . ^גתשלום חותך . ^דחותך, ורצה לומר כערך קו ח"ב ממשולש חב"א אל קו ג"ח ממשולש בג"א כן קו ב"א מן ב' עד א' התחתון אל קו ב"א מן ב' עד א' העליון. והמופת כנ"ל בסימן צ"ב.

(ל) עם תשלום להפך:    ר"ל כזה --

• ^אכל בקע . ^בתשלום בקע . ^גחותך בקע . ^דכל בקע. ובקוין הוא ב"ז . הז . בא . בג .
• ערך השני -- כל בקע . נוגע תשלום . נוגע בקע . כל בקע. ובקוין הוא ח"ב . ח"א . א"ג . ב"ג.
• ערך השלישי -- כל בקע . תשלום בקע . חותך תשלום . נוגע תשלום. ובקוין הוא ב"ז . ה"ז . ב"א . ח"א.
• ערך הרביעי -- כל בקע . תשלום בקע . נוגע בקע . בקע. ובקוין הוא ב"ג(?) . ה"ז . א"ג . ה"ב או ז"ד.
• ערך החמישי -- כל בקע . נוגע תשלום . חותך בקע . חותך תשלום. ובקוין הוא ב"ג . ח"א . ב"א הארוך . ב"א הקצר.

והמופתים לכל אלו הערכין ידוע ומובן מאד על פי כלל צ"ב ש"ב הנ"ל ותביט כל הקוין הנ"ל בצורה שבסימן זה.

(מ) תחליף את כ"ב ב"א אל ח"ג כ"ב:    הוא בעצמו החלוף האמור בסימן שי"ד דהיינו חותך תשלום אל כ"ב דהנה חותך תשלום וחותך זוית ג' אחד הם. עיין בצורה שכתבתי בסימן שט"ו זוית דא"ג וזוית אג"ב שוים כמ"ש סימן ס"ב.

(נ) בערך השני וכו':    צ"ל תחליף את ב"א ב"ג אל קו נ"ג, ראשי תיבות בקע א' בקע ג' אל כל בקע נוגע ג', וכנ"ל בכלל שי"ד ותאמר כל בקע נוגע ג' השוה אל נוגע זוית דא"ג כן קו ב"ג אל קו א"ב.

(ס) או ב"ג ב"א אל כ"ב נ"א:    ותאמר כערך כל בקע נוגע א' כן ערך קו א"ב אל קו ב"ג.

(ע) בערך הג' תחליף את כ"ב נ"א:    אל נוגע ג' לכל בקע כן קו ב"ג לקו א"ב.

(פ) בערך הד':    נ"ל להגיה כך את כ"ב . ב"א . אל נ"ג . ח"ג ותאמר כערך נוגע ג' אל חותך ג' כן קו א"ב לקו א"ג.

(צ) בערך החמישי תחליף את נ"א ח"א אל בקע א' כל בקע כן קו ב"ג אל קו א"ג או כערך כל בקע לחותך ג' כן קו ב"ג לקו א"ג:    וכל הנ"ל עיין בצורה שהצגתי בסימן שט"ו ותבין הכל.

(ק) ותגע ערכי זויות וכו':    נ"ל להגיה ותדע ערכי בקעי זויות בא"ד ג"ד, ר"ל שתדע כמות של כ"א מהבקעים, אם כן תדע גם כן ערך א' לחבירו. דרך משל קו ב"ד הוא 4/5 מקו ח"ג.

(ר) כערך החבור וכו':    ר"ל קו ב"ד ח"ג ביחד אל הנותר מהגרעון הוא קו ח"ז כן ערך נוגע חצי זוית בא"ג הוא קו ב"ו.

(ש) אל החצי מהנותר וכו':    צ"ל אל החצי מהנותר מהגרעון של נוגעי זוית הנ"ל, ור"ל אל קו ט"ו שהוא החצי מקו ט"י שהוא הנותר מגרעון נוגע זוית בא"ד מנוגע זוית דא"ג ומעתה תדע כמות קו ט"ו וגם כן ידוע לך החצי מזוית בא"ג מאחר שידעת כל הזויות כמו שהתחיל אם תדע זוית א' וכולי ואחר כך תוסיף וכולי.

(ת) והמופת על זה שתעשה וכו':    מצאתי הציור הזה מקולקל ואינו מסכים להבנת הדברים לכן אעמידהו על מכונו ממה שיסכים להבנת הדברים כזה [ציור].

(א*) וקו ב"ז -- צ"ל קו ב"ד.

(ב*) בז"ט:    צ"ל בד"ט.

(ג*) בז"ט:    צ"ל בד"ט.

(ד*) זוית בט"ז:    צ"ל בט"ד.

(ה*) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן ס"א.

(ו*) זב"ט:    צ"ל דב"ט.

(ז*) כערך קו ב"ז וכו':    צ"ל קו ב"ד אל קו ג"ח שהן בקעי זויות בא"ד דא"ג כן ערך קו ב"ט וכולי

(ח*) קוי ב"ז:    צ"ל ב"ד.

(ט*) הנותר מהגרעון:    ר"ל הוא קו ח"ז.

(י*) קו ב"ט:    צ"ל קו ב"?(?)

(כ*) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן מ"א.

(ל*) זוית בא"ה:    צ"ל נוגע זוית בא"ה.

(מ*) זוית דא"ו:    צ"ל זוית דא"י.

(נ*) הבקע ב"ה:    שהוא בקע לזוית גו"ב.

(ס*) ו"ה שהוא תשלום:    ר"ל שהוא שוה לקו ב"ז שהוא תשלום בקע ב"ה. ועיין בסימן פ"ה.

(ע*) מחצי אלכסון:    הוא קו ג"ו ואחרי שתגרע קו ה"ו שהוא כתשלום(?) הבקע מקו ג"ו הנ"ל ישאר מנקודת ה' עד העיגול והוא היפוך הבקע.

(פ*) תעריך את היתר הנ"ל אל כל הבקע:    ר"ל דהנה היתר ידוע במשולש דהוא יתר לק"כ מעלות שהוא שליש עגול ואם כן החצי יתר הוא בקע לס' מעלות וכן במרובע הוא בקע למ"ה מעלות ותעיין בלוח הבקעים כנזכר בסימן פ"ג, הבקע מס' מעלות כמה הוא נגד כל הבקע ומאחר שידוע אורך הבקע הנ"ל באמות וכדומה(?) שהוא חצי מהצלע הידוע, אם כן ידוע גם כן אורך כל הבקע מזה העיגול ותרחיב המחוגה וכו'. ובספר מלאכת מחשבת נותן כלל באם יהיה לך עיגול ולא תדע מדת האלכסון וזאת ידוע לך שבעיגול הזה נעשה משולש שוה הצלעות אשר שלשה זויות נוגעים בשפת העיגול וידוע גם כן מדת כל צלע -- תמשוך קו מזוית א' עד אמצע צלע שכנגדו ואז תדע גם כן מדת הקו ההוא כמ"ש פה בסימן קל"ד ותחלק הקו לג' חלקים ותצרף להקו הנ"ל עוד שליש מהקו והוא אורך האלכסון וחציו הוא כל הבקע הנ"ל. ועיין לקמן סימן של"א ושנ"ב.

(צ*) כנ"ל בעיגול:    צ"ל בעיגול שבסימן כ"ח.

(ק*) שוין כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן ע"א

(ר*) השטח שוין:    צ"ל השטח לחלקים שוין.

(ש*) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן נ"ב.

(ת*) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן ע"א.

(*א) שוין לשל זה:    נ"ל שחסר בכאן כמה תיבות וכצ"ל שוין לשל זה ושטח המשולשין שוין אף על פי כן אין צלע השלישי שלהן שוה ולא הזויות שוות כי במשולשין וכולי.

(*ב) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן שכ"ג.

(*ג) וכן זויותיהן השלישי:    ר"ל שנגד הצלע השלישי.

(*ד) והתמונות שוות:    ר"ל ששניהם מרובעים או משולשים וכדומה.

(*ה) א"צ להיות הכמותין שוין:    כנ"ל בסימן שכ"ה.

(*ו) הוא גדול וכו':    ר"ל גדול ממשולש שוה הזוית או רחב הזוית או צר הזוית.

(*ז) המרובע אבג"ד:    שהוא גדול ממרובע הוז"ח כנ"ל והנה משולש הח"ז שהוא צר הזוית וכן משולש חה"ו שהוא משולש רחב הזוית אף ששוקיים שלהן שוין לשוקיים של משולש אג"ד, מכל מקום שטחן קטן ממשולש אג"ד דהא הן חצי מרובע הוז"ח הקטן ממרובע אבג"ד.

(*ח) כמ"ש בסימן:    צ"ל כמ"ש בסימן ס"ו וכל שהוא מעט הצלעות הזויות קצרות וממעטין מהשטח וקטן וכולי

(*ט) נפרד הצלעות:    דרך משל מחומש כזה [ציור] שהצלעות שלו שוות ונ"ל דצריך נמי שיהו כל זויותיו שוות כמו זאת התמונה באופן שאם היה עיגול סביבו היו כל זויותיו נוגעות בעיגול וכמ"ש בסימן שאחר זה.

(*י) בשני ראשי צלע:    כדומה בנקודת א' ב'.

(*כ) בצלע אחר:    כדומה בנקודות ב' ד'.

(*ל) ובמקום שנפגעין:    הוא נקודת ג'.

(*מ) בכל ג' נקודות:    ר"ל שעשית שלא במדה ובכונה כזה [ציור] נקודות א' ב' ג' תעמיד ראש המחוגה על נקודת א' ותרחיב עד נקודת ב' ותעשה קשתות א"ד ב"ד ויהיה נפגשין על נקודת ד' ותמשוך קו ישר ממקום הפגיעה כמו קו ד"ה. אחר כך תעמיד ראש המחוגה על נקודת ב' ותרחיב עד נקודת ג' ותעשה קשתות ב"ו ג"ו ויהיו נפגשין על נקודת ו' ותמשוך קו ו"ז והנה ב' הקוין ד"ה ו"ז פוגעים זה את זה בנקודת ו' ושם המרכז ותעמיד שם ראש המחוגה ותרחיבנו עד נקודה אחת מהג' נקודות ותעשה עיגול וילך על כל הג' נקודות.

(*נ) תעריך אותו אל כל הבקע:    ר"ל כנ"ל בסימן שי"ט מאחר שידעת אורך הצלע אם כן חצי הצלע דרך משל אם מחומש הוא בקע לל"ו מעלות ותעיין בלוח הבקעים הבקע מל"ו מעלות כמה חלקים הוא מכל הבקע, אם כן מאחר שידעת הבקע הנ"ל באורך אמות וכדומה ידעת גם כן כל הבקע באורך אמות וכן תדע אורך כל בקעים מסך מעלות שתעשה בזה העיגול כנ"ל וז"ש ואל כל חלקי הבקע ותדע כל היתרים שלמים שתעשה בזה העיגול לסך ידוע מהמעלות וז"ש והיתרים. וכן תדע היפוך הבקע דרך משל הבקע הנ"ל הידוע לל"ו מעלות אם כן תשלום הבקע הוא לנ"ד מעלות ותעיין בלוח הבקעים ערך הבקע מנ"ד מעלות נגד כל הבקע ומאחר שידעת אורך כל הבקע כנ"ל ידעת אורך תשלום הבקע והיפוך הבקע הוא השלמת תשלום הבקע לכל הבקע. אם כן ידעת הכל. ומזה תדע השטח מכל התמונות כמו שמבואר אחר כך.

(*ס) כבר ידעת:    עיין בסימן קל"ו(?).

(*ע) שהוא חץ היתר א"ב:    כמ"ש בסימן שי"ח. והנה יתר א"ב ידוע מדתו שהוא יתר לק"כ מעלות שהוא שליש העיגול כנ"ל וקו ה"ג גם כן ידוע שהוא יתר לק"פ מעלות. ואם כן קו ג"ד גם כן ידוע אחרי שתגרע חץ היתר ה"ד שידוע מדתו כנ"ל בסימן הקודם מידיעת אורך בקע ד"ב ואורך כל הבקע ותשלום בקע ד"ב וחץ היתר זה הוא תשלום להתשלום.

(*פ) תכפול יתר:    ר"ל מאחר שידעת אורך צלע א' מהמשושש אם כן חציו הוא בקע לל' מעלות ומזה תדע אורך האלכסון ואורך יתר שלישי העיגול על פי לוח הבקעים כנ"ל בסימן של"ב ותכפול וכולי.

(*צ) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן ע"ז.

(*ק) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן שכ"ה בסופו.

(*ר) הוא ג' רביעי:    ע"ל בסימן שי"ט בביאור בשם ס' מלאכת מחשבת.

(*ש) כמ"ש בסימן:    צ"ל בסימן ע"ז.

(*ת) שהוא חצי האלכסון:    צ"ל שהוא האלכסון פחות וכולי.

(א') ח"ב כנ"ל:    ר"ל בסימן הקודם.

(ב') לידע במחומש:    נ"ל שבמחומש תעשה הציור כך [ציור] וידוע לך מדת אורך יתר א"ב ב"ג ודומיהם, אם כן ידוע לך גם כן אורך קו א"ג כי הוא יתר לקמ"ד מעלות וכמ"ש בסימן שי"ט. וכשתמשוך עמוד נצב דהיינו קו ב"ז יוודע לך מדתו גם כן כמ"ש בסימן קי"ז. והנה משולש אב"ג אה"ו שווים בצלעותיהם ושניהם ביחד הוא ככפילת קו ב"ז עם קו א"ג. נשאר משולש גא"ה וידוע גם כן שטחו מאחר שאתה יודע מדת כל אחד מצלעותיו. תמשוך עמוד נצב א"ד ותדע מדתו גם כן כנ"ל. וימצא שטח גא"ה הוא ככפלת קו ג"ד עם קו א"ד תרצפ' יחד ויצא לך שטח המחומש אב"גהו.

(ג') שנתבאר בסימן:    ר"ל בסימן הקודם.