איל משולש/מאמר שלישי

<< · איל משולש · מאמר שלישי · >>

איל משולש

מח

אם תרצה לסמן ^(א)משולש -- תרשום האותיות הרשומות בראש הזויות. וכן אם תרצה לסמן ^(ב)זוית; רק שתרשום זוית המסומן באמצע.

ואם תרצה לסמן ^(ג)הצלע -- תרשום ב' אותיות של קצוות הצלע.

מט

תשבורת השטח הוא כמה אמה-על-אמה או טפח-על-טפח או אצבע-על-אצבע מרובעים בתוכה; בין שהשטח מרובע או עיגול או משולש או בכל תמונות שיהיה.

נ

שטח המרובע ידוע שהוא ^(ד)כפלת צלע הנצב עם השוכב.

נא

משולש שוה שוקיים -- הזויות שכנגד הצלעות השוין הם גם כן שוין. כזה

משולש אב"ג שצלע א"ב וצלע א"ג שוין זה לזה -- זוית ^(ה)אב"ה שוה לזוית אג"ה.

והמופת על זה: תעשה משולש בג"ד שוה שוקיים מצד האחר של קו ב"ג, ותמשוך קו א"ד. צלע א"ב שוה לצלע א"ג, וצלע ב"ד שוה לצלע ג"ד, וקו א"ד הוא משותף לשני המשולשין אב"ד אג"ד. אם כן זוית בא"ד גא"ד שוין כנ"ל בסימן כג'. ולפי זה שני המשולשין אב"ה אג"ה שוין. כי שני צלעות א"ב א"ג שוין, וזוית בא"ה גא"ה שוין, וקו א"ה משותף לשניהם, וע"כ זוית אב"ה אג"ה שוין כמ"ש בסימן כד'.

נב

ומזה נתבאר גם כן שקו ב"ה שוה לקו ג"ה.

נג

וגם כן מבואר שזוית בה"א שוה לזוית גה"א, ואם כן שניהם הם שויות נצבות כי שניהם הם ק"פ מעלות כנ"ל סימן ט"ו.

נד

ומזה, שאם תרצה לחלוק קו אחד לב' חלקים שוים על זוית נצבת -- תעשה ב' משולשין שוה-שוקיים משני צדדי הקו, ותמשוך קו משני הזויות המקבילות להקו מזה לזה, כנ"ל בסימן נ"א שתחלוק קו ב"ג בקו א"ד. או תעשה ^(ו)קשתות בשני קצוות הקו משני צדדין כנ"ל בסימן כח ותמשוך קו משני הנקודות הקשתות הפוגעות מזה לזה.

נה

אם תרצה לעשות קו ^(ז)מקביל לקו נרשם -- תחתוך קו הנרשם בקו אחר על זוית נצבת, ואחר כך תחתוך קו השני בקו אחר על איזה מרחק שתרצה על זוית נצבת -- קו השלישי הוא מקביל לקו הראשון כזה:

נו

אם תרצה לידע מרכז מאיזה ^(ח)עיגול -- תעשה יתר באיזו מקום שתרצה מהעיגול, ואחר כך תחלק היתר בקו א' על ב' חלקים על זוית נצבת. וקו החותך על כרחך הוא אלכסון העיגול כמ"ש בסימן כ"א. ואחר כך תחתוך האלכסון בקו א' על שני חלקים שוים. ומקום פגישת שני הקוין הוא המרכז כמ"ש בסימן הנ"ל.

נז

ומבואר בסימן נ"א שמשולש שוה-הצלעות הוא גם כן שוה כל הזויות.

נח

משולש ששני זויות שוין זה לזה -- שני צלעות שכנגדן גם כן שוין. כמו במשולש הנ"ל שזויות אב"ה אג"ה שוין -- צלע א"ב א"ג גם כן שוין.

והמופת על זה -- תעשה משולש שוה שוקיים מצד האחד של הצלע שבין הזויות הנ"ל כנ"ל -- זוית הב"ד הג"ד שוין כמ"ש בסימן נ"א וע"כ זוית אב"ד אג"ד שוין וצלעות ב"ד ג"ד שוין וצלע א"ד משותף לשני המשולשין אב"ד אג"ד ע"כ גם הצלעות א"ב וא"ג שוין כמ"ש סימן כ"ד.

נט

ומזה מבואר שמשולש שוה בכל הזויות הוא גם כן שוה הצלעות.

ס

עוד יש לבאר כל זה במופת קל --
שתמשוך במשולש אב"ג קו א"ה על זוית נצבת. אה"ב אה"ג שוין כמ"ש בסימן ט"ו, וצלע א"ה משותף לב' המשולשים אב"ה אג"ה, ^(ט)ושני צלעות א"ב א"ג או שני הזויות אב"ה אג"ה שוין -- על כרחך הנשארים גם כן שוין כמ"ש בסימן כ"ד כ"ה.

סא

שני קוין החותכין זה את זה, זויות המקבילות שוין זה לזה. כזה --

זויות אה"ב גה"ד שוין, ^(י)הואיל וזוית בה"ד או זוית אה"ג שארית להם על כרחך גם הם שוין כמ"ש סימן מ"ו. וכן זוית אה"ג בה"ד שוין. ^(כ)(וכן אם זויותיהן שוות על כרחך הקוין הם מקבילין).

סב

קו החותך שני קוין מקבילין -- זויות הנוכחות שוין כזה:

זוית בג"ו שוה עם זוית גו"ז. כי זוית אג"ד בג"ו שוין כמ"ש בסימן הקודם, וזוית אג"ד גו"ז שוין כמ"ש סימן כ', ועל כרחך גם זוית בג"ו גו"ז שוין כמ"ש בסימן מ"ז. וכן אם הזויות שוין על כרחך הקוין מקבילין. וכן זויות דג"ו גו"ה שוין.

סג

כל הג' זויות של המשולש לעולם הוא מחזיק ק"פ מעלות מכוון. והמופת על זה שתמשוך אצל א' מהזויות קו ^(ל)מקביל לצלע שכנגדו כזה:

זוית אב"ד שוה לזוית בד"ה כמ"ש ^(מ)בסימן הקודם. וזוית גב"ה שוה לזוית בה"ד. וכל הג' זויות אב"ד גב"ה דב"ה ^(נ)מחזיקין ק"פ מעלות. אם כן גם זויות המשולש מחזיקין ק"פ מעלות.

סד

ומבואר מזה שלעולם לא יהיה במשולש שני זויות ^(ס)נצבת ורחבה או שתי רחבות.

סה

וגם כן מבואר שאם תמשוך צלע אחד ממשולש זוית -- החיצונה מחזיק כמו שני הזויות המשולש הנשארים. כזה:

זוית גב"ד שוה לזוית גא"ד אד"ב. כי זוית אב"ד ^(ע)הוא שארית לזוית גא"ד אד"ב ^(פ)ולזוית גב"ד. אם כן גם הם שוין כמ"ש סימן מ"ו.

סו

כל הזויות של מרובע מחזיק ש"ס מעלות, שאם תמשוך קו באלכסון מזוית לזוית יתחלק המרובע לשני משולשין. אם כן מחזיק ב' פעמים ק"פ ב' פעמים ק"פ שווה 360 מעלות.

והמחומש מחזיק ג' פעמים ק"פ ג' פעמים ק"פ שווה 540 מעלות ^(צ)לפי שאפשר לחלקו על ג' משולשין. ^(ק)והמשושש מחזיק ד' פעמים ק"פ ד' פעמים ק"פ שווה 720 מעלות.

והכלל שתחסר מן התמונה ב' צלעות וכמנין הצלעות הנשארים כך פעמים מחזיק ק"פ מעלות.

סז

שני קוין היוצאים ^(ר)מנקודה אחת ונפגשין עם קו אחר -- קו הארוך יותר עושה ^(ש)זוית צרה יותר מן הקצר ולצד האחר הוא בהפך כזה:

זוית אג"ה יותר צרה מזוית אד"ה וזוית אג"ב יותר מרווחת מזוית אד"ב.

סח

ומזה מבואר שאם תמשוך עמוד נצב מזוית א' ממשולש על צלע שכנגדו, אם שתי הזויות שבקצוות הצלע הן צרות -- אז העמוד נופל בתוך המשולש כזה

סט

ואם א' רחבה -- נופל העמוד חוצה להמשולש כזה

ע

ואם האחד נצב-הזוית, הצלע שאצל הזוית נצבת -- היא העמוד. כזה

עא

שטח משולש הוא חצי משטח ^(ת)מרובע קו הנצב עם השוכב. והמופת -- שתמשוך קו מקביל להנצב והשוכב כזה

קו א"ב ג"ד שוין, וכן א"ג ב"ד שוין, וקו א"ד משותף לשני ^(א*)המשולשין אב"ד אג"ד -- אם כן משולש אג"ד הוא חצי ממרובע אבג"ד.

עב

ואם העמוד הנצב הוא בתוך המשולש כמו ^(ב*)משולש כזה

תעשה ב' קוין מקבילין לעמוד וקו מקביל להשוכב כזה -- משולש בד"ה הוא חצי ממרובע אבד"ה. משולש בה"ו ^(ג*)הוא חצי ממרובע בגה"ו. אם כן משולש בד"ו הוא חצי ממרובע אגד"ו.

עג

ואם העמוד הנצב נופל ^(ד*)חוץ למשולש -- ^(ה*)תמשוך השוכב עד הנצב ותעשה ^(ו*)קו מקביל להנצב והשוכב כזה

^(ז*)תסיר משולש אג"ד (שהוא חצי ממרובע אגד"ו), וכן משולש גה"ו (שהוא חצי ממרובע בגה"ו) -- נשאר משולש גד"ה חצי ממרובע אדב"ה.^{הערה לסעיף עג}

עד

^(ח*)(מופת אחר שתמשוך משני זויות הצרות קוין על זויות נצבות עד שיפגשו ותמשוך קו המקביל להשוכב עוד כמדת השוכב ותמשוך מקצהו קו עד זוית הרחבה כזה [ציור] קוי א"ב ג"ד שוין וקו ב"ג משותף לשני הקוין, אם כן גם קו א"ג ב"ד שוין וקו ג"ו ד"ה שוין, וזוית אג"ו בד"ה שוין, תסיר משני המשולשין משולש בג"ז נשאר שני המרובעים אבה"ו גדה"ו שוין, תוסיף עליהם משולש זו"ה, אם כן שני המרובעים אוב"ה גוד"ה שוין. קו א"ו ב"ה שוין כנ"ל וקו א"ב ו"ה שוין, וקו ב"ו משותף לשני המשולשין אב"ו בו"ה, אם כן משולש בו"ה הוא חצי ממרובע אוב"ה וכן ממרובע גוד"ה. )

[ מופת אחר שתמשוך משני זויות הצרות קוין על זוית נצבת. ותמשוך קו המקביל להשוכב עוד כמדת השוכב. ותמשוך מקצהו קו עד זוית הרחבה. ועוד תמשוך מקצה-קו-ו"ה, קו ו"ג, מקביל לקו ה"ד. נמצא קו א"ג ב"ד שוין, וקו ג"ו ד"ה שוין, וזוית אג"ו בד"ה שוין. תסיר משני המשולשין משולש בג"ז -- נשאר שני המרובעים אבז"ו גזד"ה שוין. תוסיף עליהם משולש זו"ה -- אם כן שני המרובעים אוב"ה גוד"ה שוין; קו א"ו ב"ה שוין כנ"ל, וקו א"ב ו"ה שוין, וקו ב"ו משותף לשני המשולשין אב"ו בו"ה. אם כן משולש בו"ה הוא חצי ממרובע אוב"ה וכן ממרובע גוד"ה. ]

עה

משולש נצב הזוית^(ט*) -- שטח מרובע האלכסון מחזיק כמו שטח מרובע הנצב ושטח מרובע השוכב יחד.

והמופת -- ^(י*)שתכפול ב' פעמים קו הנצב וב' פעמים קו השוכב ותעשה מרובע ^(כ*)מהאלכסון כזה

משולש אב"ד בד"ה ^(ל*)שוין. אם כן משולש בד"ה הוא חצי ממרובע אבד"ה וכן משולש בה"ו וה"ח דה"ח. אם כן כל המשולשין -- שהוא מרובע בדח"ו -- הוא ב' פעמים כמו מרובע אבד"ה. זה אם הנצב והשוכב שוין.

^(מ*)ואם אינן שוין -- המופת שתחבר הצלע הנצב עם השוכב ותעשה מרובע מן הצלע המחובר. ותמשוך בתוכו ד' אלכסונים ויהיו ד' משולשין בהקיפו כזה

קו א"ב ג"ה ד"ו ז"ח הוא כמדת הצלע הגדול, וקו ב"ג ה"ד ו"ז ח"א הוא כמדת צלע הקטן, וקו ח"ו ו"ה ה"ב ב"ח הוא כמדת האלכסון.

ונתבאר בחכמת התשבורת שאם ^(נ*)תחבר צלע משני צלעות ותכפלם יהיה כמספר כפלת הצלעות כל אחד בפני עצמו וב' פעמים כפלת אחד בחברו.

וגם כן מבואר במופת כזה:

מרובע אגז"ט^(ס*) הוא מחובר מכפלת שני צלעות כ"א בפ"ע דהיינו מרובע בגו"ה דהז"ח וגם ב"פ כפלת א' בחברו דהיינו רבוע אבד"ה הוח"ט

תסיר^(ע*) מרובע אגז"ד ד' משולשין -- אח"ב בג"ה דו"ה זח"ו -- שכל אחד מחזיק כמספר חצי כפלת צלע בחבירו, נשאר רבוע בחו"ה כמספר כפלת שתי הצלעות כ"א בפ"ע.

עו

עוד יתבאר כ"ז במופת אחר שתעשה משני ^(פ*)צלעות (המרובע) [המשולש] ^(צ*)מרובעים (אחרים), שיהא כל הצלעות שוין. וכן תעשה מצלע האלכסון גם כן מרובע שוה-הצלעות. ותמשוך ^(ק*)(מהמרובע) [מהמשולש] שאינו שוה-הצלעות, ^(ר*)מן הזוית-שכנגד-האלכסון קו על מרובע האלכסון שתחלק את צלעות האלכסון על זוית נצבת ואת מרובע-האלכסון על שני מרובעים^(ש*), דהיינו^(ת*) מרובע חלק הגדול כמו מרובע הצלע הגדול, ומרובע חלק הקטן כמו שטח מרובע צלע הקטן כזה

מרובע אבג"ד הוא מרובע צלע ג"ד (שהוא צלע הגדול), מרובע דהח"ט הוא מרובע צלע ד"ח (שהוא הצלע הקטן), ומרובע גחי"ל הוא מרובע קו ג"ח (שהוא צלע האלכסון). ותמשוך קו ד"כ על קו י"ל על זוית נצבת -- שטח מרובע גוי"כ מחזיק כמו שטח מרובע אבג"ד, ושטח מרובע וחכ"ל מחזיק כמו שטח מרובע דהח"ט.

והמופת שתמשוך קוי א"ח ג"ט ד"י ד"ל. ^(*א)(קוי ג"ח ג"י שוין) [וכן קוי א"ג ג"ד שוין]. זוית חג"י אג"ד שוין, כי שניהן נצבים. תוסיף עליהן זוית דג"ח. אם כן שני הזויות ^(*ב)אג"ח דג"י שוין כנ"ל בסימן (?). אם כן שני המשולשין אג"ח דג"י שוין כמ"ש בסימן כ"ד, ומשולש אג"ח הוא חצי ממרובע אבג"ד כמ"ש בסימן ^(*ג)הקודם, וכן משולש דג"י הוא חצי ממרובע גוי"כ. אם כן שני המרובעים אבג"ד גוי"כ שוין.

וכן קוי ד"ח ח"ט שוין. וקוי ג"ח ח"ל שוין. וזוית גח"ל דח"ט שוין, כי שניהם נצבות. תוסיף עליהם זוית גח"ד -- אם כן זוית גח"ט דח"ל שוין. אם כן שני המשולשין גח"ט דח"ל שוין, ומשולש דח"ל הוא חצי ^(*ד)ממרובע וחכ"ל. [ וכן משולש גח"ט חצי ממרובע דהח"ט ]. אם כן שני המרובעין דהח"ט וחכ"ל שוין. אם כן מרובע גחי"ל הוא כמו שני המרובעין אבג"ד דהח"ט.

עז

קו היקף העיגול הוא יותר מאלכסון העיגול, ^(*ה)יותר מג' פעמים.

והמופת על זה שתחלק האלכסון על ד' חלקים, ותמשוך על ב' רביעי האלכסון שני יתרים על זויות נצבות. ותמשוך ששה יתירים מן הששה הנקודות ממקום שפוגעין ג' הקוין הנ"ל (האלכסון ושני היתרים הנ"ל) בהקף העיגול; מנקודה לנקודה. ועוד תמשוך קו ממרכז העיגול עד קצה הא' משני היתרים הנ"ל כזה

שתחלק את האלכסון על ד' רבעים על נקודות דג"ט. ותמשוך קוי בד"ה וט"ח על האלכסון על זויות נצבות. ותעשה ששה יתרים -- ב"א א"ה ה"ח ח"ז ז"ו ו"ב. ועוד תעשה קו ב"ג.

• קו א"ד ג"ד שוין.
• זוית אד"ב גד"ב שוין; כי שניהם הם נצבות.
• קו ב"ד הוא משותף לשני המשולשין אד"ב בד"ג -- אם כן קוי ^(*ו)א"ב ב"ג שוין.
• וקו ב"ג היא חצי אלכסון כמ"ש בסימן ז', אם כן גם קו א"ב הוא חצי אלכסון. וכן קו ב"ו הוא מקביל לקו ד"ט. אם כן גם קו ב"ו הוא חצי אלכסון. וכן^(*ז) קוי ו"ז ז"ח ח"ה ה"א.
• אם כן הששה היתרים הם ג' אלכסונים וכל קשת יותר גדול מן היתר שתחתיו, אם כן ע"כ הוא יותר משלש אלכסונות.

ואמרו שהוא ערך ך"ב אל ז' בקירוב. וכן האלכסון הוא על היקף העיגול כערך ז' אל ך"ב בקירוב.

עח

מופת אחר: שיתר א"ב הוא כחצי אלכסון. מאחר שזוית אג"ב הוא ס' מעלות -- נשארים זויות אב"ג בא"ג ק"כ מעלות. וקו א"ג ב"ג שוין. אם כן גם זויות אב"ג בא"ג שוין כמ"ש בסימן נ"א. אם כן כל אחד ס' מעלות. ואם כן משולש בא"ג הוא שוה הצלעות כמ"ש בסימן נ"ט. ואם כן הוא חצי אלכסון והוא הדין בכל ששה יתרים.

עט

שטח העיגול הוא כפלת חצי-אלכסון עם חצי-ההיקף או רביע-האלכסון עם כל ההיקף או כל אלכסון עם רביע-ההיקף.

והמופת -- ^(*ח)שתחתוך את העיגול מהמרכז עד ההיקף כזה

המשל -- רוחב א"ב הוא קו ההיקף, ועמוד הנצב ד"ג הוא חצי אלכסון. וכבר נתבאר בסימן ע"א כי שטח המשולש הוא כחצי כפלת השוכב עם הנצב.

פ

מזה נתבאר כי שטח ^(*ט)המרובע ^(*י)לשטח המשולש כערך 14 אל 11. וכן ערך המשולש אל המרובע כערך 11 אל 14.

דרך משל: שהקו של האלכסון ארכו י"ד אמות -- נמצא קו הקיפו מ"ד אמות כמ"ש בסימן הקודם. רביע ההיקף עם האלכסון -- נמצא שטחו י"א פעמים י"ד י"א פעמים י"ד שווה 154 אמות. ושטח מרובע י"ד פעמים י"ד י"ד פעמים י"ד שווה 196.

ביאור - ר' שמואל מלוקניק

(א) לסמן משולש:    ר"ל שיבינו באיזו משולש אתה מדבר תרשום האותיות ר"ל האותיות שאתה רושם על המשולש לסימן תשימם על ג' זויות של המשולש כזה ותקרא אותו משולש אב"ג או אג"ב וכדומה.

(ב) לסמן זוית:    שתרצה לדבר מן זוית ב' תקרא אותו זוית אב"ג דהיינו שיהיה דוקא אות של הזוית המדובר בו באמצע האותיות. וכן זוית ג' תקרא אותו אג"ב. וזוית א' -- בא"ג.

(ג) תרשום:    כמו צלע שבין א' לב' תקרא אותו א"ב. וכן כולם.

(ד) כפלת:    כזה . שצלע הנצב הוא 3 והשוכב הוא 6. תכפול 3 עם 6 -- הוא 18. הוא תשבורת השטח.

(ה) זוית אב"ה:    ר"ל זוית אב"ג שוה לזוית אג"ב.

(ו) קשתות:    שתעשה כזה [ציור] קשתות משני צדדי קו ג"ד ותמשוך קו מנקודה א' עד נקודה ב'.

(ז) קו מקביל:    ר"ל שתרצה לעשות עוד קו שיהיה מקביל לקו הנרשם שלפניך שהוא קו א"ב תחתוך קו הנרשם על זוית נצבת על ידי מ"ש בסימן הקודם ומעתה יהיה לפניך קו ה"ו עומד נצב על קו א"ב ותחתכהו גם כן שיהיה קו ג"ד על זוית נצבת על קו ה"ו, הרי קו ג"ד על כרחך מקביל לקו א"ב.

(ח) תעשה:    כזה כגון יתר א"ב ואחר כך תחלוק היתר על חלקים שוין בקו ג"ד כמ"ש בסימן נ"ד ואחר כך תחתוך זה הקו בקו ה"ו ונפגשין על נקודת ז' והוא המרכז.

(ט) ושני צלעות:    זה מופת על מה שאמר בסימן נ"א. ומה שכתב "או שני הזויות" הוא מופת על מ"ש בסימן נ"ח וכדמסיים כמ"ש בסימן כ"ד כ"ה.

(י) הואיל וזוית:    ר"ל כי הנה זוית אה"ב וזוית בה"ד ביחד מחזיקין ק"פ מעלות כמ"ש סימן ט"ו וכן זוית גה"ד וזוית בה"ד יחד מחזיקין גם כן ק"פ מעלות כנ"ל. מעתה תסיר זוית בה"ד מכל אחד מהשני זויות הנ"ל יהיו הנשארים דהיינו אה"ב גה"ד גם כן שוין כמ"ש סימן מ"ו אם תקח מספר שוה וכו' יהיה גם כן הנשארים שוין וכן בכולן על זה האופן.

(כ) וכן אם וכו':    נ"ל שכל אלו תיבות יתירים הם בכאן והוא משיגרא דלישנא דסוף כלל ס"ב, עיי"ש.

(ל) מקביל:    ר"ל כמו קו א"ג מקביל לקו ד"ה.

(מ) בסימן הקודם:    ר"ל מפני שקו ב"ד חותך לקו א"ג ד"ה המקבילים וכן זוית גב"ה וכו'.

(נ) מחזיקין:    כמ"ש בסימן ט"ו.

(ס) נצבת:    ר"ל לפי ששניהם מחזיקין יותר מק"פ מעלות בלא זוית השלישי וזה אי אפשר כנ"ל בסימן ס"ג.

(ע) הוא שארית:    כמ"ש סימן ס"ג שבין כולם הוא ק"פ מעלות.

(פ) ולזוית גב"ד:    כמ"ש סימן ט"ו.

(צ) שאפשר לחלקו:    כזה

(ק) והמשושש:    כזה וכן מן שמנה צלעות יהיה ששה משולשין כזה

(ר) ונקודה אחת:    ר"ל מנקודת א' ונפגשין עם קו ב"ה.

(ש) זוית צרה:    היינו לצד שמאל ולצד האחר היינו לצד ימין.

(ת) מרובע:    ר"ל כפלת קו הנצב עם השוכב.

(א*) לשני המשולשין:    אם כן שני המשולשין שוין.

(ב*) משולש כזה:    ר"ל משולש דב"ו ועמודו הנופל הוא ב"ה.

(ג*) הוא חצי:    כמ"ש בסימן הקודם.

(ד*) חוץ למשולש:    ר"ל חוץ למשולש גד"ה.

(ה*) תמשוך השוכב:    ר"ל קו ד"ה עד קו ג"ו.

(ו*) קו מקביל:    ר"ל קו א"ד להנצב וקו א"ג להשוכב, ותמשוך גם כן קו ב"ה ליתר ביאור.

(ז*) תסיר משולש:    ר"ל אם כן נשאר משולש גד"ו גם כן חצי משני המרובעים אבד"ה בגה"ו. אם כן כשתסיר אחר כך משולש גה"ו שהוא חצי ממרובע בגה"ו לא נשאר במשולש גד"ה כי אם החצי ממרובע אבד"ה.

(ח*) מופת אחר:    ראיתי בכאן דברים מעורבים לכן ראיתי להציג המופת הזה על נכון על פי מ"ש בספר אקלידוס לימוד ל"ה, עיי"ש. וראוי להיות כך:

מופת אחר שתמשוך משני זויות הצרות (ר"ל זוית הב"ו וזוית בה"ו ממשולש בו"ה) קוין על זוית נצבת (ר"ל קו ב"ד וקו ה"ד) ותמשוך קו המקביל להשוכב עוד כמדת השוכב (ר"ל קו ב"א כמדת קו ה"ו) ותמשוך מקצהו (ר"ל מנקודת א') קו עד זוית הרחבה (ר"ל זוית בו"ה) ועוד תמשוך מקצה קו ו"ה קו ו"ג, מקביל לקו ה"ד. נמצא קו א"ג ב"ד שוין (ר"ל הואיל וקו א"ב ג"ד שוין שניהם לקו ו"ה אם כן שניהם גם כן שוין כפי כלל מ"ז וקו ב"ג משותף לשניהם) וקו ג"ו ד"ה שוין (ר"ל כפי כלל כ"ב) וזוית אג"ו בד"ה שוין (ר"ל ששתיהן נצבות). תסיר משני המשולשין (ר"ל אג"ו בד"ה) משולש בג"ז -- נשאר שני המרובעים אבז"ו גזד"ה שוין. תוסיף עליהם משולש זו"ה -- אם כן שני המרובעים אוב"ה גוד"ה שוין; קו א"ו ב"ה שוין כנ"ל, וקו א"ב ו"ה שוין, וקו ב"ו משותף לשני המשולשין אב"ו בו"ה. אם כן משולש בו"ה הוא חצי ממרובע אוב"ה, וכן ממרובע גוד"ה.

(ט*) נצב הזוית:    כמו משולש בד"ה שטח מרובע הנעשה מקו ב"ד שהוא אלכסון מחזיק לבדו ב' השטחין ממרובע הנעשה על קו הנצב שהוא קו ב"ה ומרובע הנעשה על קו השוכב שהוא קו ד"ה.

(י*) שתכפול:    דרך משל אם מדת הנצב הוא 4 וכן מדה השוכב (כמו שמסיים דמיירי שמדתן שוה), ונמצא כפלת כל אחד עולה 8, ותעשה מרובע שיהיה ח' על ח', והוא מרובע אגז"ט.

(כ*) מרובע מהאלכסון:    הוא מרובע בדח"ו.

(ל*) שוין:    כמ"ש בסימן ע"א.

(מ*) ואם אינם שוין:    כמו משולש חז"ו שבצורה ב' תחבר צלע ח"ז שהוא ד"מ 4 עם צלע ז"ו שהוא ד"מ 2 וביחד הוא 6 ותעשה מרובע ו' על ו'.

(נ*) שאם תחבר וכו':    ר"ל כנ"ל שחברת צלע 6 מב' צלעות שהאחד 4 והשני 2 יהיה מספר תשבורת השטח מכפלת 6 פעמים 6 כמספר כפלת צלע א' שהוא 4 פעמים 4 שהוא 16 ומספר כפלת צלע הב' שהוא 2 פעמים 2 ועוד ב"פ כפלת 2 פעמים 4 שיהיה סך הכל 36.

(ס*) מרובע אגז"ט:    דרך משל שקו א"ב שבו הוא 4 וכן ב"ג הוא 2, נמצא שקו א"ג הוא 6 ומרובע הנעשה על קו זה מחובר דהיינו שיש בתוכו מרובע של קו ב"ג ומרובע של קו ד"ה השוה לקו א"ב ומרובע אבד"ה הנעשה מכפלת צלע הקטן עם הגדול וכן מרובע הוח"ט הנעשה גם כן מכפלת צלע הקטן בגדול.

(ע*) מרובע אגז"ד:    ר"ל שבצורה הקודמת ד' משולשין הללו שכל אחד מחזיק חצי וכו'. דרך משל, שולש אב"ח אם תעשה לו עוד משולש כמוהו כנגדו כזה [ציור] יהיה בין הכל מרובע אבח"ג מדת כפלת צלע בחברו הנ"ל. אם כן משולש אח"ב הוא חצי כפלת צלע בחברו אם כן ד"פ חצי כפלת הם ב"פ כפלת צלע בחברו. אם כן נשאר וכו'.

(פ*) המרובע יותר -- צ"ל המשולש, ותיבת "אחרים" יתר.

(צ*) מרובעים:    ר"ל למשולש גד"ח יעשה לקו ג"ד שבו מרובע שיהו שאר ג' צלעותיו במדה א' עם קו ג"ד וכן לקו ד"ח יעשה מרובע על קו ג"ח שיהו כל צלעותיו שוין לקו ג"ח.

(ק*) מהמרובע -- צ"ל מהמשולש.

(ר*) מן הזוית:    ר"ל מזוית גד"ח ימשוך קו ד"כ שיחלק אות קו ג"ח על זוית נצבת.

(ש*) על שני מרובעים:    ר"ל מרובע גוי"ך ומרובע וחכ"ל

(ת*) דהיינו וכו':    ר"ל ע"כ יהיה מרובע גוי"ך כמו מרובע אבג"ד ומרובע וחכ"ל כמו מרובע דהח"ט וכמו שמבאר והולך אחר כך במופת.

(*א) קוי ג"ח ג"י שוין -- צ"ל בכאן וכן קוי א"ג ג"ד שוין זוית חג"ד(?) וכולי.

(*ב) אג"ח דג"י שוין:    ר"ל כנ"ל בסימן מ"ו(?) או תוסיף וכו'.

(*ג) כמ"ש בסימן הקודם:    ר"ל בסימן ע"ג ע"ד.

(*ד) ממרובע וחכ"ל -- צ"ל בכאן וכן משולש גח"ט חצי ממרובע דהח"ט אם כן שני וכולי.

(*ה) יותר מג' פעמים:    ר"ל דמ"ש בגמרא "כל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו ג' טפחים" אינו מדוקדק דיש יותר. ועיין תוספות עירובין י"ד א' ד"ה והאיכא.

(*ו) א"ב ב"ג שוין:    ר"ל כמ"ש סימן כ"ד.

(*ז) וכן קוי ו"ז וכו':    והמופת שתמשוך עוד קו ג"ו אם כן קוי ג"ט ט"ז שוין זוית אט"ג וט"ז שניהם נצבות וקו ו"ט משותף לשני המשולשין וט"ג וט"ז. אם כן קו ג"ו ו"ז שוין, קוי ו"ט ט"ח שוין, כי האלכסון א"ז חולק את היתר ו"ח על ב' חלקים שוין כמ"ש סימן כ"א זוית וט"ז חט"ז נצבות וקו ט"ב לב' המשולשין משותף וט"ז חט"ז. אם כן קוי ו"ז ז"ח שוין וקו ח"ה מקביל לקו ד"ט וקו ה"ד ד"ב שוין כנ"ל שהאלכסון חולק היתר ב"ה על זוית נצבת וכנ"ל. אם כן קו א"ה שוה לקו א"ב כנ"ל בקו ח"ז. אם כן כל הששה היתרים שוין.

(*ח) שתחתוך:    עיין תוספות סוכה ח' א' ד"ה כמה.

(*ט) המרובע:    ר"ל שכל אחד מד' צלעותיו הוא כמדת אלכסון העיגול שבסימן הקודם.

(*י) המשולש:    ר"ל משולש אב"ג שבסימן הקודם שהוא עצמו שטח העיגול. וכן ערך המשולש -- ר"ל שטח העיגול אל המרובע הנעשה סביב העיגול. והיינו עיגולא בגו ריבועא הנזכר בסוכה ועירובין וב"מ??.

הערות ויקיעורך

הערה לסעיף עג פתרון ההוכחה שבסעיף:

• משוואה א: מרובע אדב"ה + מרובע בגה"ו = מרובע אגד"ו (מוכח בציור)
• משוואה ב: משולש אג"ד + משולש גד"ה + משולש גה"ו = מרובע אגד"ו (מוכח בציור)
• משוואה ג: משולש אג"ד = חצי(מרובע אגד"ו) (מוכח בציור)

• הצב משוואה ג במשוואה ב:

משוואה ד: חצי(מרובע אגד"ו) + משולש גד"ה + משולש גה"ו = מרובע אגד"ו

• הפחת חצי(מרובע אגד"ו) משתי צידי משוואה ד:

משוואה ה: משולש גד"ה + משולש גה"ו = חצי(מרובע אגד"ו)

• הצב משוואה א במשוואה ה:

משוואה ו: משולש גד"ה + משולש גה"ו = חצי(מרובע אדב"ה) + חצי מרובע(בגה"ו)

• משוואה ז: משולש גה"ו = חצי(מרובע בגה"ו) (מוכח בציור)

• הצב משוואה ז במשוואה ו:

משוואה ח: משולש גד"ה + משולש גה"ו = חצי(מרובע אדב"ה) + משולש גה"ו

• חסר משולש גה"ו משני צידי משוואה ח:

משוואה ט: משולש גד"ה = חצי(מרובע אדב"ה)

• מ.ש.ל.